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Os problemas que Fibonacci resolveu em sua obra “Flos” foram colocados especificamente para ele?

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Segundo a Wikipedia, Fibonacci escreveu "Flos", uma obra que continha soluções para os problemas colocados por Johannes de Palermo. Johannes representava um desafio para todos os matemáticos europeus da época ou seus problemas eram dirigidos a Fibonacci?

Alguém sabe quais são alguns exemplos específicos dos problemas apresentados?


Johannes de Palermo foi um estudioso da corte de Frederico II. Frederick conhecia o trabalho de Fibonacci e talvez até mesmo um admirador. Em 1225, quando a corte de Frederico se reuniu em Pisa, Fibonacci foi convidado para demonstrar suas obras. Não consigo encontrar uma fonte de quando exatamente Johannes de Palermo apresentou seus problemas, mas os dois homens certamente se conheceram em Pisa e Johannes apresentou seus problemas diretamente em Fibonacci:

Um encontro foi arranjado entre Fibonacci e Frederico no palácio do imperador em Pisa, Frederico trazendo consigo um séquito imponente de pessoas e animais. Frederico, que tinha cerca de 30 anos, é descrito como "de aparência atlética e altura mediana, com cabelo louro-avermelhado e olhos azuis penetrantes que teriam feito seus cortesãos tremerem".

Questões matemáticas para Fibonacci resolver foram propostas por um estudioso, Mestre João de Palermo. De acordo com alguns escritores, ocorreu um torneio de matemática entre Fibonacci e outros matemáticos, mas não parece ter sido o caso. Três desses problemas são apresentados posteriormente, quando trato dos escritos matemáticos de Fibonacci. Na época de seu encontro com Frederico em 1220, Fibonacci provavelmente estava no auge de suas proezas.

Fonte: 800 anos de idade, A. F. Horadam, Departamento de Matemática, University of New England

Como exemplo do problema:

Em Flos, Fibonacci dá uma aproximação precisa de uma raiz de 10x + 2x2 + x3 = 20, um dos problemas que ele foi desafiado a resolver por Johannes de Palermo. Este problema não foi inventado por Johannes de Palermo, mas sim do livro de álgebra de Omar Khayyam, onde é resolvido por meio da intersecção de um círculo e uma hipérbole. Fibonacci prova que a raiz da equação não é um número inteiro nem uma fração, nem a raiz quadrada de uma fração. Ele então continua: -

E como não foi possível resolver essa equação de nenhuma outra das maneiras acima, trabalhei para reduzir a solução a uma aproximação.

Sem explicar seus métodos, Fibonacci então dá a solução aproximada em notação sexagesimal como 1.22.7.42.33.4.40 (isso é escrito na base 60, então é 1 + 22/60 + 7/602 + 42/603 +…). Isso converte para o decimal 1,3688081075, que é correto para nove casas decimais, um feito notável.

Fonte: Leonardo Pisano Fibonacci (breve biografia), Escola de Matemática e Estatística, Universidade de St Andrews, Escócia

Há outro exemplo de Flos na fonte da minha primeira citação, mas infelizmente sem a solução de Fibonacci. Talvez você queira tentar resolvê-lo sozinho? ;)

Leitura adicional:

  • O 800º aniversário do livro que trouxe números para o oeste, Keith Devlin (Diretor Executivo do Centro para o Estudo da Linguagem e da Informação da Universidade de Stanford)
  • Fibonacci and Square Numbers, MathDL, The Mathematical Association of America

ALAN TURING: RACHANDO O CÓDIGO 'ENIGMA'

o Matemático britânico Alan Turing é talvez mais famoso por seu trabalho em tempos de guerra no Centro britânico de decifração de códigos em Bletchley Park onde seu trabalho levou à quebra do código de enigma alemão (de acordo com alguns, encurtando a Segunda Guerra Mundial de uma só vez, e potencialmente salvando milhares de vidas). Mas ele também foi responsável por tornar o já devastador teorema da incompletude de Gödel ainda mais sombrio e desanimador, e é principalmente nisso - e no desenvolvimento da ciência da computação que seu trabalho deu origem - que repousa o legado matemático de Turing.

Apesar de frequentar uma escola particular cara que enfatizava fortemente os clássicos em vez das ciências, Turing mostrou os primeiros sinais do gênio que se tornaria mais proeminente mais tarde, resolvendo problemas avançados na adolescência sem ter sequer estudado cálculo elementar e mergulhando no complexo matemática da obra de Albert Einstein. Ele se tornou um ateu convicto após a morte de seu amigo íntimo e colega estudante de Cambridge, Christopher Morcom, e ao longo de sua vida ele foi um corredor de longa distância realizado e comprometido.

Nos anos que se seguiram à publicação do teorema da incompletude de Gödel, Turing queria desesperadamente esclarecer e simplificar o teorema bastante abstrato e obscuro de Gödel e torná-lo mais concreto. Mas sua solução - que foi publicada em 1936 e que, ele afirmou mais tarde, lhe veio em uma visão - envolveu efetivamente a invenção de algo que veio a moldar todo o mundo moderno, o computador.


Conteúdo

Juventude e estudos Editar

Georg Cantor nasceu em 1845 na colônia mercantil ocidental de São Petersburgo, Rússia, e foi criado na cidade até os onze anos. Cantor, o mais velho de seis filhos, era considerado um violinista notável. Seu avô Franz Böhm (1788–1846) (irmão do violinista Joseph Böhm) foi um músico e solista conhecido em uma orquestra imperial russa. [15] O pai de Cantor era membro da bolsa de valores de São Petersburgo quando adoeceu. A família mudou-se para a Alemanha em 1856, primeiro para Wiesbaden, depois para Frankfurt, buscando invernos mais amenos do que os de São Petersburgo. Em 1860, Cantor graduou-se com distinção na Realschule em Darmstadt. Suas habilidades excepcionais em matemática, trigonometria em particular, foram notadas. Em agosto de 1862, ele se formou na "Höhere Gewerbeschule Darmstadt", agora Technische Universität Darmstadt. [16] [17] Em 1862, Cantor entrou na Politécnica Federal Suíça. Depois de receber uma herança substancial com a morte de seu pai em junho de 1863, [18] Cantor mudou seus estudos para a Universidade de Berlim, assistindo a palestras de Leopold Kronecker, Karl Weierstrass e Ernst Kummer. Ele passou o verão de 1866 na Universidade de Göttingen, então e mais tarde um centro de pesquisa matemática. Cantor era um bom aluno e recebeu seu doutorado em 1867. [18] [19]

Professor e pesquisador Editar

Cantor apresentou sua dissertação sobre teoria dos números na Universidade de Berlim em 1867. Depois de lecionar brevemente em uma escola para meninas em Berlim, Cantor assumiu um cargo na Universidade de Halle, onde passou toda a sua carreira. Ele foi premiado com a habilitação necessária para sua tese, também na teoria dos números, que apresentou em 1869 após sua nomeação na Halle University. [19] [20]

Em 1874, Cantor casou-se com Vally Guttmann. Eles tiveram seis filhos, o último (Rudolph) nascido em 1886. Cantor era capaz de sustentar uma família apesar do modesto salário acadêmico, graças à herança de seu pai. Durante sua lua de mel nas montanhas Harz, Cantor passou muito tempo em discussões matemáticas com Richard Dedekind, a quem conhecera dois anos antes, durante um feriado na Suíça.

Cantor foi promovido a professor extraordinário em 1872 e feito professor catedrático em 1879. [19] [18] Alcançar o último posto aos 34 anos foi uma conquista notável, mas Cantor desejava uma cátedra em uma universidade de maior prestígio, em particular em Berlim, na época a principal universidade alemã. No entanto, seu trabalho encontrou muita oposição para que isso fosse possível. [21] Kronecker, que chefiou a matemática em Berlim até sua morte em 1891, ficou cada vez mais desconfortável com a perspectiva de ter Cantor como um colega, [22] percebendo-o como um "corruptor da juventude" por ensinar suas idéias a uma geração mais jovem de matemáticos. [23] Pior ainda, Kronecker, uma figura bem estabelecida dentro da comunidade matemática e ex-professor de Cantor, discordou fundamentalmente do impulso do trabalho de Cantor desde que atrasou intencionalmente a publicação da primeira publicação importante de Cantor em 1874. [19] Kronecker, agora visto como um dos fundadores do ponto de vista construtivo em matemática, não gostou muito da teoria dos conjuntos de Cantor porque afirmava a existência de conjuntos que satisfaziam certas propriedades, sem dar exemplos específicos de conjuntos cujos membros de fato satisfaziam essas propriedades. Sempre que Cantor se candidatava a um cargo em Berlim, ele era recusado, e geralmente envolvia Kronecker, [19] então Cantor passou a acreditar que a posição de Kronecker tornaria impossível para ele deixar Halle.

Em 1881, o colega Halle de Cantor, Eduard Heine, morreu, criando uma cadeira vaga. Halle aceitou a sugestão de Cantor de que fosse oferecida a Dedekind, Heinrich M. Weber e Franz Mertens, nessa ordem, mas cada um declinou a cadeira após ser oferecido. Friedrich Wangerin acabou sendo nomeado, mas nunca foi próximo de Cantor.

Em 1882, a correspondência matemática entre Cantor e Dedekind chegou ao fim, aparentemente como resultado do declínio de Dedekind da cadeira em Halle. [24] Cantor também iniciou outra correspondência importante, com Gösta Mittag-Leffler na Suécia, e logo começou a publicar no jornal de Mittag-Leffler Acta Mathematica. Mas em 1885, Mittag-Leffler estava preocupado com a natureza filosófica e a nova terminologia em um artigo que Cantor havia submetido Acta. [25] Ele pediu a Cantor que retirasse o jornal da Acta enquanto estava na prova, escrevendo que era ".cerca de cem anos mais cedo." Cantor obedeceu, mas então reduziu seu relacionamento e correspondência com Mittag-Leffler, escrevendo a um terceiro: "Se Mittag-Leffler tivesse vencido, eu teria que esperar até o ano de 1984, o que para mim parecia uma demanda muito grande! Mas é claro que nunca mais quero saber de nada sobre Acta Mathematica." [26]

Cantor sofreu seu primeiro surto conhecido de depressão em maio de 1884. [18] [27] As críticas a seu trabalho pesavam em sua mente: cada uma das 52 cartas que escreveu a Mittag-Leffler em 1884 mencionava Kronecker. Uma passagem de uma dessas cartas é reveladora do dano à autoconfiança de Cantor:

. Não sei quando voltarei à continuação do meu trabalho científico. No momento não posso fazer absolutamente nada com isso, e me limitar ao dever mais necessário de minhas palestras quanto mais feliz seria se fosse cientificamente ativo, se ao menos tivesse o frescor mental necessário. [28]

Essa crise o levou a se candidatar a aulas de filosofia em vez de matemática. Ele também começou um estudo intenso da literatura elizabetana pensando que poderia haver evidências de que Francis Bacon escreveu as peças atribuídas a William Shakespeare (veja a questão da autoria de Shakespeare), o que acabou resultando em dois panfletos, publicados em 1896 e 1897. [29]

Cantor se recuperou logo em seguida e, subsequentemente, fez outras contribuições importantes, incluindo seu argumento diagonal e teorema. No entanto, ele nunca mais atingiu o alto nível de seus notáveis ​​documentos de 1874-84, mesmo após a morte de Kronecker em 29 de dezembro de 1891. [19] Ele eventualmente buscou, e alcançou, uma reconciliação com Kronecker. No entanto, as divergências filosóficas e as dificuldades que os dividem persistiram.

Em 1889, Cantor foi fundamental na fundação da Sociedade Alemã de Matemática [19] e presidiu sua primeira reunião em Halle em 1891, onde apresentou seu argumento diagonal pela primeira vez, sua reputação era forte o suficiente, apesar da oposição de Kronecker ao seu trabalho, para garantir que ele fosse eleito como o primeiro presidente desta sociedade. Deixando de lado a animosidade que Kronecker havia demonstrado em relação a ele, Cantor o convidou para falar na reunião, mas Kronecker não pôde fazer isso porque sua esposa estava morrendo de ferimentos sofridos em um acidente de esqui na época. Georg Cantor também foi fundamental para o estabelecimento do primeiro Congresso Internacional de Matemáticos, que foi realizado em Zurique, Suíça, em 1897. [19]

Últimos anos e morte Editar

Após a hospitalização de Cantor em 1884, não há registro de que ele tenha estado em qualquer sanatório novamente até 1899. [27] Logo após a segunda hospitalização, o filho mais novo de Cantor, Rudolph, morreu repentinamente em 16 de dezembro (Cantor estava dando uma palestra sobre seus pontos de vista sobre a teoria baconiana e William Shakespeare), e essa tragédia drenou Cantor de grande parte de sua paixão pela matemática. [30] Cantor foi novamente hospitalizado em 1903. Um ano depois, ele ficou indignado e agitado por um artigo apresentado por Julius König no Terceiro Congresso Internacional de Matemáticos. O artigo tentou provar que os princípios básicos da teoria dos conjuntos transfinitos eram falsos. Como o jornal havia sido lido na frente de suas filhas e colegas, Cantor percebeu que havia sido humilhado publicamente. [31] Embora Ernst Zermelo tenha demonstrado menos de um dia depois que a prova de König havia falhado, Cantor permaneceu abalado e questionando Deus momentaneamente. [12] Cantor sofreu de depressão crônica pelo resto de sua vida, pela qual foi dispensado do ensino em várias ocasiões e repetidamente confinado em vários sanatórios. Os acontecimentos de 1904 antecederam uma série de hospitalizações em intervalos de dois ou três anos. [32] Ele não abandonou completamente a matemática, no entanto, dando palestras sobre os paradoxos da teoria dos conjuntos (paradoxo de Burali-Forti, paradoxo de Cantor e paradoxo de Russell) para um encontro dos Deutsche Mathematiker-Vereinigung em 1903, e participando do Congresso Internacional de Matemáticos em Heidelberg em 1904.

Em 1911, Cantor foi um dos ilustres acadêmicos estrangeiros convidados a participar do 500º aniversário da fundação da Universidade de St. Andrews, na Escócia. Cantor compareceu, na esperança de conhecer Bertrand Russell, cujo recém-publicado Principia Mathematica citou repetidamente o trabalho de Cantor, mas isso não aconteceu. No ano seguinte, St. Andrews concedeu a Cantor um doutorado honorário, mas a doença o impediu de receber o diploma pessoalmente.

Cantor se aposentou em 1913, vivendo na pobreza e sofrendo de desnutrição durante a Primeira Guerra Mundial. [33] A celebração pública de seu 70º aniversário foi cancelada por causa da guerra. Em junho de 1917, ele entrou em um sanatório pela última vez e escreveu continuamente para sua esposa pedindo permissão para ir para casa. Georg Cantor teve um ataque cardíaco fatal em 6 de janeiro de 1918, no sanatório onde havia passado o último ano de sua vida. [18]

O trabalho de Cantor entre 1874 e 1884 é a origem da teoria dos conjuntos. [34] Antes deste trabalho, o conceito de conjunto era bastante elementar, usado implicitamente desde o início da matemática, remontando às idéias de Aristóteles. Ninguém havia percebido que a teoria dos conjuntos tinha qualquer conteúdo não trivial. Antes de Cantor, havia apenas conjuntos finitos (que são fáceis de entender) e "o infinito" (que era considerado um tópico de discussão filosófica, em vez de matemática). Ao provar que existem (infinitamente) muitos tamanhos possíveis para conjuntos infinitos, Cantor estabeleceu que a teoria dos conjuntos não era trivial e precisava ser estudada. A teoria dos conjuntos passou a desempenhar o papel de uma teoria fundamental na matemática moderna, no sentido de que interpreta proposições sobre objetos matemáticos (por exemplo, números e funções) de todas as áreas tradicionais da matemática (como álgebra, análise e topologia) em uma única teoria, e fornece um conjunto padrão de axiomas para prová-los ou refutá-los. Os conceitos básicos da teoria dos conjuntos agora são usados ​​em toda a matemática. [35]

Em um de seus primeiros artigos, [36] Cantor provou que o conjunto de números reais é "mais numeroso" do que o conjunto de números naturais, o que mostrou, pela primeira vez, que existem conjuntos infinitos de tamanhos diferentes. Ele também foi o primeiro a avaliar a importância das correspondências um-para-um (doravante denominadas "correspondência 1-para-1") na teoria dos conjuntos. Ele usou este conceito para definir conjuntos finitos e infinitos, subdividindo o último em conjuntos numeráveis ​​(ou infinitos contáveis) e conjuntos não numeráveis ​​(conjuntos infinitos incontáveis). [37]

Cantor desenvolveu conceitos importantes em topologia e sua relação com a cardinalidade. Por exemplo, ele mostrou que o conjunto Cantor, descoberto por Henry John Stephen Smith em 1875, [38] não é denso em nenhum lugar, mas tem a mesma cardinalidade que o conjunto de todos os números reais, enquanto os racionais são densos em todos os lugares, mas contáveis. Ele também mostrou que todas as ordens lineares densas contáveis ​​sem pontos finais são isomórficas de ordem aos números racionais.

Cantor introduziu construções fundamentais na teoria dos conjuntos, como o conjunto de potência de um conjunto UMA, que é o conjunto de todos os subconjuntos possíveis de UMA. Mais tarde, ele provou que o tamanho do conjunto de energia de UMA é estritamente maior do que o tamanho de UMA, mesmo quando UMA é um conjunto infinito, este resultado logo ficou conhecido como teorema de Cantor. Cantor desenvolveu toda uma teoria e aritmética de conjuntos infinitos, chamados cardinais e ordinais, que estendeu a aritmética dos números naturais. Sua notação para os números cardinais era a letra hebraica ℵ < displaystyle aleph> (aleph) com um subscrito de número natural para os ordinais, ele empregou a letra grega ω (ômega). Essa notação ainda está em uso hoje.

o Hipótese do Continuum, apresentado por Cantor, foi apresentado por David Hilbert como o primeiro de seus vinte e três problemas em aberto em seu discurso no Congresso Internacional de Matemáticos de 1900 em Paris. O trabalho de Cantor também atraiu notícias favoráveis ​​além do célebre elogio de Hilbert. [14] O filósofo norte-americano Charles Sanders Peirce elogiou a teoria dos conjuntos de Cantor e, após palestras públicas proferidas por Cantor no primeiro Congresso Internacional de Matemáticos, realizado em Zurique em 1897, Adolf Hurwitz e Jacques Hadamard também expressaram sua admiração.Nesse congresso, Cantor renovou sua amizade e correspondência com Dedekind. A partir de 1905, Cantor se correspondeu com seu admirador e tradutor britânico Philip Jourdain sobre a história da teoria dos conjuntos e sobre as ideias religiosas de Cantor. Este foi publicado mais tarde, assim como várias de suas obras expositivas.

Teoria dos números, séries trigonométricas e ordinais Editar

Os primeiros dez artigos de Cantor versaram sobre a teoria dos números, o tema de sua tese. Por sugestão de Eduard Heine, o professor em Halle, Cantor voltou-se para a análise. Heine propôs que Cantor resolvesse um problema aberto que havia escapado a Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Rudolf Lipschitz, Bernhard Riemann e o próprio Heine: a singularidade da representação de uma função por séries trigonométricas. Cantor resolveu esse problema em 1869. Foi enquanto trabalhava nesse problema que ele descobriu os ordinais transfinitos, que ocorriam como índices n no nº conjunto derivado Sn de um conjunto S de zeros de uma série trigonométrica. Dada uma série trigonométrica f (x) com S como seu conjunto de zeros, Cantor descobriu um procedimento que produziu outra série trigonométrica que tinha S1 como seu conjunto de zeros, onde S1 é o conjunto de pontos limites de S. Se Sk + 1 é o conjunto de pontos limites de Sk, então ele poderia construir uma série trigonométrica cujos zeros são Sk + 1. Porque os conjuntos Sk foram fechados, eles continham seus pontos limites, e a interseção da sequência decrescente infinita de conjuntos S, S1, S2, S3. formou um conjunto de limite, que agora chamaríamos Sω, e então ele percebeu que Sω também teria que ter um conjunto de pontos limites Sω + 1, e assim por diante. Ele tinha exemplos que duravam para sempre, então aqui estava uma sequência infinita de números infinitos que ocorria naturalmente ω, ω + 1, ω + 2, . [39]

Entre 1870 e 1872, Cantor publicou mais artigos sobre séries trigonométricas e também um artigo definindo números irracionais como sequências convergentes de números racionais. Dedekind, com quem Cantor fez amizade em 1872, citou este artigo mais tarde naquele ano, no jornal em que ele apresentou pela primeira vez sua célebre definição de números reais por cortes de Dedekind. Ao estender a noção de número por meio de seu conceito revolucionário de cardinalidade infinita, Cantor se opôs paradoxalmente às teorias dos infinitesimais de seus contemporâneos Otto Stolz e Paul du Bois-Reymond, descrevendo-os como "uma abominação" e "um bacilo da cólera de matemática". [40] Cantor também publicou uma "prova" errônea da inconsistência dos infinitesimais. [41]

Teoria dos conjuntos Editar

O início da teoria dos conjuntos como um ramo da matemática é frequentemente marcado pela publicação do artigo de Cantor de 1874, [34] "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" ("Sobre uma propriedade da coleção de todos os números algébricos reais") . [43] Este artigo foi o primeiro a fornecer uma prova rigorosa de que havia mais de um tipo de infinito. Anteriormente, todas as coleções infinitas eram implicitamente assumidas como equinumeras (ou seja, "do mesmo tamanho" ou com o mesmo número de elementos). [44] Cantor provou que a coleção de números reais e a coleção de inteiros positivos não são equinúmeros. Em outras palavras, os números reais não são contáveis. Sua prova difere do argumento diagonal que ele deu em 1891. [45] O artigo de Cantor também contém um novo método de construção de números transcendentais. Os números transcendentais foram construídos pela primeira vez por Joseph Liouville em 1844. [46]

Cantor estabeleceu esses resultados usando duas construções. Sua primeira construção mostra como escrever os números algébricos reais [47] como uma sequência uma1, uma2, uma3,. Em outras palavras, os números algébricos reais são contáveis. Cantor inicia sua segunda construção com qualquer sequência de números reais. Usando essa sequência, ele constrói intervalos aninhados cuja interseção contém um número real que não está na sequência. Uma vez que cada sequência de números reais pode ser usada para construir um real fora da sequência, os números reais não podem ser escritos como uma sequência - isto é, os números reais não são contáveis. Ao aplicar sua construção à sequência de números algébricos reais, Cantor produz um número transcendental. Cantor aponta que suas construções provam mais - a saber, elas fornecem uma nova prova do teorema de Liouville: cada intervalo contém infinitos números transcendentais. [48] ​​O próximo artigo de Cantor contém uma construção que prova que o conjunto de números transcendentais tem o mesmo "poder" (veja abaixo) que o conjunto de números reais. [49]

Entre 1879 e 1884, Cantor publicou uma série de seis artigos em Mathematische Annalen que juntos formaram uma introdução à sua teoria dos conjuntos. Ao mesmo tempo, havia uma oposição crescente às idéias de Cantor, lideradas por Leopold Kronecker, que admitia conceitos matemáticos apenas se eles pudessem ser construídos em um número finito de passos a partir dos números naturais, que ele considerava dados intuitivamente. Para Kronecker, a hierarquia de infinitos de Cantor era inadmissível, pois aceitar o conceito de infinito real abriria a porta para paradoxos que desafiariam a validade da matemática como um todo. [50] Cantor também introduziu o conjunto Cantor durante este período.

O quinto artigo desta série, "Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre " ("Fundamentos de uma teoria geral dos agregados "), publicado em 1883, [51] foi o mais importante dos seis e também foi publicado como uma monografia separada. Continha a resposta de Cantor aos seus críticos e mostrava como os números transfinitos eram uma extensão sistemática dos números naturais. Ele começa definindo conjuntos bem ordenados. Os números ordinais são então introduzidos como os tipos de ordem dos conjuntos bem ordenados. Cantor então define a adição e multiplicação dos números cardinais e ordinais. Em 1885, Cantor estendeu sua teoria dos tipos de ordem para que os números ordinais simplesmente se tornassem um caso especial de tipos de ordem.

Em 1891, ele publicou um artigo contendo seu elegante "argumento diagonal" para a existência de um conjunto incontável. Ele aplicou a mesma ideia para provar o teorema de Cantor: a cardinalidade do conjunto de potências de um conjunto UMA é estritamente maior do que a cardinalidade de UMA. Isso estabeleceu a riqueza da hierarquia dos conjuntos infinitos e da aritmética cardinal e ordinal que Cantor havia definido. Seu argumento é fundamental na solução do problema de Halting e na prova do primeiro teorema da incompletude de Gödel. Cantor escreveu sobre a conjectura de Goldbach em 1894.

Em 1895 e 1897, Cantor publicou um artigo de duas partes em Mathematische Annalen sob a direção de Felix Klein, esses foram seus últimos artigos significativos sobre a teoria dos conjuntos. [52] O primeiro artigo começa definindo conjunto, subconjunto, etc., de maneiras que seriam amplamente aceitáveis ​​agora. A aritmética cardinal e ordinal são revisadas. Cantor queria que o segundo artigo incluísse uma prova da hipótese do contínuo, mas teve que se contentar em expor sua teoria de conjuntos bem ordenados e números ordinais. Cantor tenta provar que se UMA e B são conjuntos com UMA equivalente a um subconjunto de B e B equivalente a um subconjunto de UMA, então UMA e B são equivalentes. Ernst Schröder havia declarado esse teorema um pouco antes, mas sua prova, assim como a de Cantor, era falha. Felix Bernstein forneceu uma prova correta em sua tese de doutorado de 1898, daí o nome Teorema de Cantor-Bernstein-Schröder.

Edição de correspondência um para um

O artigo de Cantor sobre Crelle, de 1874, foi o primeiro a invocar a noção de correspondência 1 para 1, embora ele não tenha usado essa frase. Ele então começou a procurar uma correspondência de 1 para 1 entre os pontos do quadrado unitário e os pontos de um segmento de linha unitário. Em uma carta de 1877 para Richard Dedekind, Cantor provou um resultado muito mais forte: para qualquer número inteiro positivo n, existe uma correspondência 1 para 1 entre os pontos no segmento de linha unitária e todos os pontos em um nespaço -dimensional. Sobre esta descoberta, Cantor escreveu a Dedekind: "Je le vois, mais je ne le crois pas!"(" Eu vejo, mas não acredito! ") [53] O resultado que ele achou tão surpreendente tem implicações para a geometria e a noção de dimensão.

Em 1878, Cantor submeteu outro artigo ao Crelle's Journal, no qual definiu precisamente o conceito de correspondência 1 para 1 e introduziu a noção de "poder" (termo que ele tirou de Jakob Steiner) ou "equivalência" de conjuntos: dois conjuntos são equivalentes (têm o mesmo poder) se houver uma correspondência 1 para 1 entre eles. Cantor definiu conjuntos contáveis ​​(ou conjuntos denumeráveis) como conjuntos que podem ser colocados em uma correspondência 1 para 1 com os números naturais, e provou que os números racionais são denumeráveis. Ele também provou que nespaço euclidiano dimensional R n tem o mesmo poder que os números reais R, assim como um produto contável e infinito de cópias de R. Embora utilizasse livremente a contabilidade como conceito, ele não escreveu a palavra "contável" até 1883. Cantor também discutiu seu pensamento sobre a dimensão, enfatizando que seu mapeamento entre o intervalo unitário e o quadrado unitário não era contínuo.

Este artigo desagradou a Kronecker e Cantor quis retirá-lo, entretanto, Dedekind o persuadiu a não fazê-lo e Karl Weierstrass apoiou sua publicação. [54] No entanto, Cantor nunca mais apresentou nada a Crelle.

Edição de hipótese de continuum

Cantor foi o primeiro a formular o que mais tarde veio a ser conhecido como a hipótese do continuum ou CH: não existe conjunto cuja potência seja maior que a dos naturais e menor que a dos reais (ou equivalentemente, a cardinalidade dos reais é exatamente aleph-one, ao invés de apenas pelo menos aleph-one). Cantor acreditava que a hipótese do continuum era verdadeira e tentou por muitos anos prová-la, em vão. Sua incapacidade de provar a hipótese do continuum causou-lhe uma ansiedade considerável. [10]

A dificuldade que Cantor teve em provar a hipótese do continuum foi sublinhada por desenvolvimentos posteriores no campo da matemática: um resultado de 1940 por Kurt Gödel e um de 1963 por Paul Cohen implicam que a hipótese do continuum não pode ser provada nem refutada usando o padrão Zermelo– Teoria dos conjuntos de Fraenkel mais o axioma de escolha (a combinação referida como "ZFC"). [55]

Infinito absoluto, teorema de boa ordenação e paradoxos Editar

Em 1883, Cantor dividiu o infinito em transfinito e absoluto. [56]

O transfinito é crescente em magnitude, enquanto o absoluto não é aumentável. Por exemplo, um ordinal α é transfinito porque pode ser aumentado para α + 1. Por outro lado, os ordinais formam uma sequência absolutamente infinita que não pode ser aumentada em magnitude porque não há ordinais maiores para adicionar a ela. [57] Em 1883, Cantor também introduziu o princípio de bom ordenamento "todo conjunto pode ser bem ordenado" e afirmou que é uma "lei do pensamento". [58]

Cantor estendeu seu trabalho sobre o infinito absoluto usando-o em uma prova. Por volta de 1895, ele começou a considerar seu princípio de boa ordenação como um teorema e tentou prová-lo. Em 1899, ele enviou a Dedekind uma prova do teorema aleph equivalente: a cardinalidade de cada conjunto infinito é um aleph. [59] Primeiro, ele definiu dois tipos de multiplicidades: multiplicidades consistentes (conjuntos) e multiplicidades inconsistentes (multiplicidades absolutamente infinitas). Em seguida, ele assumiu que os ordinais formam um conjunto, provou que isso leva a uma contradição e concluiu que os ordinais formam uma multiplicidade inconsistente. Ele usou essa multiplicidade inconsistente para provar o teorema de aleph. [60] Em 1932, Zermelo criticou a construção na prova de Cantor. [61]

Cantor evitou paradoxos ao reconhecer que existem dois tipos de multiplicidades. Em sua teoria dos conjuntos, quando se assume que os ordinais formam um conjunto, a contradição resultante implica apenas que os ordinais formam uma multiplicidade inconsistente. Por outro lado, Bertrand Russell tratou todas as coleções como conjuntos, o que leva a paradoxos. Na teoria dos conjuntos de Russell, os ordinais formam um conjunto, portanto, a contradição resultante implica que a teoria é inconsistente. De 1901 a 1903, Russell descobriu três paradoxos que implicam que sua teoria dos conjuntos é inconsistente: o paradoxo de Burali-Forti (que acabou de ser mencionado), o paradoxo de Cantor e o paradoxo de Russell. [62] Russell nomeou paradoxos em homenagem a Cesare Burali-Forti e Cantor, embora nenhum deles acreditasse ter encontrado paradoxos. [63]

Em 1908, Zermelo publicou seu sistema de axiomas para a teoria dos conjuntos. Ele tinha duas motivações para desenvolver o sistema de axiomas: eliminar os paradoxos e assegurar sua prova do teorema da boa ordenação. [64] Zermelo provou este teorema em 1904 usando o axioma da escolha, mas sua prova foi criticada por uma variedade de razões. [65] Sua resposta à crítica incluiu seu sistema de axiomas e uma nova prova do teorema da boa ordenação. Seus axiomas apóiam essa nova prova e eliminam os paradoxos ao restringir a formação de conjuntos. [66]

Em 1923, John von Neumann desenvolveu um sistema de axioma que elimina os paradoxos usando uma abordagem semelhante à de Cantor - ou seja, identificando coleções que não são conjuntos e tratando-as de forma diferente. Von Neumann afirmou que uma classe é muito grande para ser um conjunto se puder ser colocada em correspondência um a um com a classe de todos os conjuntos. Ele definiu um conjunto como uma classe que é membro de alguma classe e declarou o axioma: Uma classe não é um conjunto se e somente se houver uma correspondência um a um entre ela e a classe de todos os conjuntos. Este axioma implica que essas grandes classes não são conjuntos, o que elimina os paradoxos, uma vez que não podem ser membros de nenhuma classe. [67] Von Neumann também usou seu axioma para provar o teorema da boa ordenação: Como Cantor, ele presumiu que os ordinais formam um conjunto. A contradição resultante implica que a classe de todos os ordinais não é um conjunto. Então, seu axioma fornece uma correspondência um a um entre essa classe e a classe de todos os conjuntos. Essa correspondência ordena bem a classe de todos os conjuntos, o que implica o teorema da boa ordenação. [68] Em 1930, Zermelo definiu modelos de teoria dos conjuntos que satisfazem o axioma de von Neumann. [69]

O conceito da existência de um infinito real era uma preocupação importante compartilhada nos domínios da matemática, filosofia e religião. Preservar a ortodoxia da relação entre Deus e a matemática, embora não da mesma forma que seus críticos, sempre foi uma preocupação de Cantor. [70] Ele abordou diretamente esta intersecção entre essas disciplinas na introdução ao seu Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre, onde ele enfatizou a conexão entre sua visão do infinito e o filosófico. [71] Para Cantor, suas visões matemáticas estavam intrinsecamente ligadas às suas implicações filosóficas e teológicas - ele identificou o Infinito Absoluto com Deus, [72] e considerou seu trabalho sobre os números transfinitos ter sido comunicado diretamente a ele por Deus, que tinha escolheu Cantor para revelá-los ao mundo. [5] Ele era um luterano devoto cujas crenças cristãs explícitas moldaram sua filosofia da ciência. [73] Joseph Dauben traçou o efeito que as convicções cristãs de Cantor tiveram no desenvolvimento da teoria dos conjuntos transfinitos. [74] [75]

O debate entre os matemáticos surgiu de visões opostas na filosofia da matemática a respeito da natureza do infinito real. Alguns defendiam a ideia de que o infinito era uma abstração que não era matematicamente legítima e negavam sua existência. [76] Matemáticos de três grandes escolas de pensamento (construtivismo e suas duas ramificações, intuicionismo e finitismo) se opuseram às teorias de Cantor neste assunto. Para construtivistas como Kronecker, essa rejeição do infinito real origina-se da discordância fundamental com a ideia de que as provas não construtivas, como o argumento diagonal de Cantor, são prova suficiente de que algo existe, sustentando, em vez disso, que as provas construtivas são necessárias. O intuicionismo também rejeita a ideia de que o infinito real é uma expressão de qualquer tipo de realidade, mas chega à decisão por um caminho diferente do construtivismo. Em primeiro lugar, o argumento de Cantor baseia-se na lógica para provar a existência de números transfinitos como uma entidade matemática real, enquanto os intuicionistas sustentam que as entidades matemáticas não podem ser reduzidas a proposições lógicas, originando-se, em vez disso, nas intuições da mente. Em segundo lugar, a noção de infinito como uma expressão da realidade não é permitida no intuicionismo, uma vez que a mente humana não pode construir intuitivamente um conjunto infinito. [78] Matemáticos como L. E. J. Brouwer e especialmente Henri Poincaré adotaram uma postura intuicionista contra o trabalho de Cantor. Finalmente, os ataques de Wittgenstein foram finitistas: ele acreditava que o argumento diagonal de Cantor confundia a intenção de um conjunto de números cardinais ou reais com sua extensão, fundindo assim o conceito de regras para gerar um conjunto com um conjunto real. [9]

Alguns teólogos cristãos viram o trabalho de Cantor como um desafio à singularidade do infinito absoluto na natureza de Deus. [6] Em particular, os pensadores neo-tomistas viam a existência de um infinito real que consistia em algo diferente de Deus como uma ameaça à "reivindicação exclusiva de Deus ao infinito supremo". [79] Cantor acreditava fortemente que essa visão era uma interpretação errônea do infinito, e estava convencido de que a teoria dos conjuntos poderia ajudar a corrigir esse erro: [80] ". As espécies transfinitas estão igualmente à disposição das intenções do Criador e de Seus vontade ilimitada absoluta como são os números finitos. " [81]

Cantor também acreditava que sua teoria dos números transfinitos ia contra o materialismo e o determinismo - e ficou chocado quando percebeu que era o único membro do corpo docente de Halle que o fez não apegar-se a crenças filosóficas deterministas. [82]

Era importante para Cantor que sua filosofia fornecesse uma "explicação orgânica" da natureza, e em 1883 Grundlagen, ele disse que tal explicação só poderia acontecer com base nos recursos da filosofia de Spinoza e Leibniz. [83] Ao fazer essas afirmações, Cantor pode ter sido influenciado por FA Trendelenburg, cujos cursos de palestras ele frequentou em Berlim, e por sua vez, Cantor produziu um comentário em latim sobre o Livro 1 de Spinoza Ethica. FA Trendelenburg também foi o examinador do Habilitationsschrift. [84] [85]

Em 1888, Cantor publicou sua correspondência com vários filósofos sobre as implicações filosóficas de sua teoria dos conjuntos. Em uma extensa tentativa de persuadir outros pensadores cristãos e autoridades a adotarem seus pontos de vista, Cantor se correspondeu com filósofos cristãos como Tilman Pesch e Joseph Hontheim, [86] bem como teólogos como o cardeal Johann Baptist Franzelin, que certa vez respondeu igualando o teoria dos números transfinitos com panteísmo. [7] Cantor até enviou uma carta diretamente ao Papa Leão XIII, e endereçou vários panfletos a ele. [80]

A filosofia de Cantor sobre a natureza dos números o levou a afirmar uma crença na liberdade da matemática para postular e provar conceitos fora do reino dos fenômenos físicos, como expressões dentro de uma realidade interna. As únicas restrições a este sistema metafísico são que todos os conceitos matemáticos devem ser desprovidos de contradição interna e que eles decorrem de definições, axiomas e teoremas existentes. Essa crença é resumida em sua afirmação de que "a essência da matemática é sua liberdade". [87] Essas idéias são paralelas às de Edmund Husserl, que Cantor conheceu em Halle. [88]

Enquanto isso, o próprio Cantor se opôs ferozmente aos infinitesimais, descrevendo-os como uma "abominação" e "o bacilo do cólera da matemática". [40]

O artigo de Cantor de 1883 revela que ele estava bem ciente da oposição que suas idéias estavam encontrando: ". Eu percebo que, neste empreendimento, me coloco em certa oposição às visões amplamente defendidas sobre o infinito matemático e às opiniões freqüentemente defendidas sobre a natureza dos números . " [89]

Portanto, ele dedica muito espaço para justificar seu trabalho anterior, afirmando que os conceitos matemáticos podem ser introduzidos livremente, desde que sejam livres de contradições e definidos em termos de conceitos previamente aceitos. Ele também cita Aristóteles, René Descartes, George Berkeley, Gottfried Leibniz e Bernard Bolzano no infinito. Em vez disso, ele sempre rejeitou fortemente a filosofia de Kant, tanto no campo da filosofia da matemática quanto na metafísica. Ele compartilhou o lema de B. Russell, "Kant ou Cantor", e definiu Kant como "aquele filisteu sofístico que sabia tão pouco de matemática". [90]

Os avós paternos de Cantor eram de Copenhague e fugiram para a Rússia após o fim das Guerras Napoleônicas. Há muito poucas informações diretas sobre seus avós. [91] Cantor foi algumas vezes chamado de judeu durante sua vida, [92] mas também foi chamado de russo, alemão e dinamarquês.

Jakob Cantor, avô de Cantor, deu nomes de santos cristãos a seus filhos. Além disso, vários parentes de sua avó estavam no serviço civil czarista, que não recebia bem os judeus, a menos que se convertessem ao cristianismo. O pai de Cantor, Georg Waldemar Cantor, foi educado na missão luterana em São Petersburgo, e sua correspondência com seu filho mostra os dois como luteranos devotos. Muito pouco se sabe com certeza sobre a origem ou educação de George Woldemar. [93] Sua mãe, Maria Anna Böhm, era austro-húngara nascida em São Petersburgo e batizada como católica romana, ela se converteu ao protestantismo após o casamento. No entanto, há uma carta do irmão de Cantor, Louis, para a mãe deles, afirmando:

Mögen wir zehnmal von Juden abstammen und ich im Princip noch so sehr für Gleichberechtigung der Hebräer sein, im socialen Leben sind mir Christen lieber. [93]

("Mesmo se fôssemos descendentes de judeus dez vezes mais, e mesmo que eu possa ser, em princípio, totalmente a favor de direitos iguais para os hebreus, na vida social eu prefiro os cristãos.") O que poderia ser lido para implicar que ela era de ascendência judaica. [94]

Houve declarações documentadas, durante a década de 1930, que questionaram essa ancestralidade judaica:

Mais frequentemente [ou seja, do que a ancestralidade da mãe], a questão tem sido discutida se Georg Cantor era de origem judaica. Sobre isso, é relatado em um aviso do Instituto genealógico dinamarquês em Copenhague do ano de 1937 a respeito de seu pai: "Fica testemunhado que Georg Woldemar Cantor, nascido em 1809 ou 1814, não está presente nos registros da comunidade judaica, e que ele, sem dúvida, não era judeu. "[93]

Também é dito posteriormente no mesmo documento:

Também os esforços por muito tempo do bibliotecário Josef Fischer, um dos melhores especialistas em genealogia judaica na Dinamarca, encarregado de identificar professores judeus, que Georg Cantor era de ascendência judaica, acabaram sem resultado. [Algo parece estar errado com esta frase, mas o significado parece claro o suficiente.] Nas obras publicadas de Cantor e também em seu Nachlass, não há declarações dele que se relacionem com a origem judaica de seus ancestrais. Há certamente no Nachlass uma cópia de uma carta de seu irmão Ludwig de 18 de novembro de 1869 para sua mãe com algumas declarações anti-semitas desagradáveis, nas quais é dito entre outras coisas:. [93]

(o resto da citação é finalizado pela primeira citação acima). No Homens da Matemática, Eric Temple Bell descreveu Cantor como sendo "de ascendência judaica pura em ambos os lados", embora ambos os pais tenham sido batizados. Em um artigo de 1971 intitulado "Rumo a uma biografia de Georg Cantor", o historiador britânico da matemática Ivor Grattan-Guinness menciona (Annals of Science 27, pp. 345-391, 1971) que ele foi incapaz de encontrar evidências de ancestralidade judaica. (Ele também afirma que a esposa de Cantor, Vally Guttmann, era judia).

Em uma carta escrita por Georg Cantor a Paul Tannery em 1896 (Paul Tannery, Memoires Scientifique 13 Correspondence, Gauthier-Villars, Paris, 1934, p. 306), Cantor afirma que seus avós paternos eram membros da comunidade judaica sefardita de Copenhagen. Especificamente, Cantor afirma ao descrever seu pai: "Er ist aber in Kopenhagen geboren, von israelitischen Eltern, die der dortigen portugisischen Judengemeinde." Comunidade judaica. ") [95]

Além disso, o tio-avô materno de Cantor, [96] um violinista húngaro Josef Böhm, foi descrito como judeu, [97] o que pode implicar que a mãe de Cantor era pelo menos parcialmente descendente da comunidade judaica húngara. [98]

Em uma carta a Bertrand Russell, Cantor descreveu sua ancestralidade e autopercepção da seguinte forma:

Nem meu pai nem minha mãe eram de sangue alemão, sendo o primeiro dinamarquês, nascido em Kopenhagen, minha mãe de ascendência austríaca húngara. Você deve saber, senhor, que eu não sou um regular apenas Germain, pois nasci em 3 de março de 1845 em Saint Peterborough, capital da Rússia, mas fui com meu pai, minha mãe, meus irmãos e minha irmã, de onze anos no ano de 1856, para a Alemanha. [99]

Até a década de 1970, as principais publicações acadêmicas sobre Cantor eram duas pequenas monografias de Arthur Moritz Schönflies (1927) - em grande parte a correspondência com Mittag-Leffler - e Fraenkel (1930). Ambos estavam em segunda e terceira mão nenhum dos dois tinha muita coisa em sua vida pessoal. A lacuna foi amplamente preenchida por Eric Temple Bell's Homens da Matemática (1937), que um dos biógrafos modernos de Cantor descreve como "talvez o livro moderno mais lido sobre a história da matemática" e como "um dos piores". [100] Bell apresenta o relacionamento de Cantor com seu pai como edipiano, as diferenças de Cantor com Kronecker como uma briga entre dois judeus e a loucura de Cantor como desespero romântico por seu fracasso em ganhar aceitação para sua matemática. Grattan-Guinness (1971) concluiu que nenhuma dessas afirmações era verdadeira, mas podem ser encontradas em muitos livros do período intermediário, devido à ausência de qualquer outra narrativa. Existem outras lendas, independentes de Bell - incluindo uma que rotula o pai de Cantor de enjeitado, enviado para São Petersburgo por pais desconhecidos. [101] Uma crítica ao livro de Bell está contida na biografia de Joseph Dauben. [102] Escreve Dauben:

Cantor dedicou algumas de suas correspondências mais injuriosas, bem como uma parte do Beiträge, a atacar o que ele descreveu em um ponto como o "bacilo infinitesimal da cólera da matemática", que se espalhou da Alemanha por meio do trabalho de Thomae, du Bois Reymond e Stolz, para infectar a matemática italiana. Qualquer aceitação dos infinitesimais significava necessariamente que sua própria teoria dos números estava incompleta. Assim, aceitar o trabalho de Thomae, du Bois-Reymond, Stolz e Veronese era negar a perfeição da própria criação de Cantor. Compreensivelmente, Cantor lançou uma campanha completa para desacreditar o trabalho de Veronese de todas as maneiras possíveis. [103]

  1. ^Grattan-Guinness 2000, p. 351.
  2. ^ O material biográfico neste artigo foi extraído principalmente de Dauben 1979. Grattan-Guinness 1971 e Purkert e Ilgauds 1985 são fontes adicionais úteis.
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  10. ^ umabDauben 1979, p. 280: ". A tradição que se tornou popular por Arthur Moritz Schönflies culpou as críticas persistentes de Kronecker e a incapacidade de Cantor de confirmar sua hipótese do continuum" pelos surtos recorrentes de depressão de Cantor.
  11. ^Dauben 2004, p. 1. O texto inclui uma citação de 1964 do psiquiatra Karl Pollitt, um dos médicos examinadores de Cantor em Halle Nervenklinik, referindo-se à doença mental de Cantor como "depressão maníaca cíclica".
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  35. ^Dauben 1979, pp. 281-283.
  36. ^Dauben 1979, p. 283.
  37. ^ Para uma discussão do artigo de König, ver Dauben 1979, pp. 248-250. Para a reação de Cantor, ver Dauben 1979, pp. 248, 283.
  38. ^Dauben 1979, pp. 283-284.
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  44. ^Cantor 1874
  45. ^ Um conjunto contável é um conjunto finito ou enumerável; portanto, os conjuntos contáveis ​​são os conjuntos infinitos contáveis. No entanto, essa terminologia não é universalmente seguida e, às vezes, "denumerável" é usado como sinônimo de "contável".
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  53. ^ Isso segue de perto a primeira parte do artigo de Cantor de 1891.
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  55. ^ Por exemplo, problemas geométricos apresentados por Galileu e John Duns Scotus sugeriram que todos os conjuntos infinitos eram equinumeros - ver
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  57. ^ Para isso, e mais informações sobre a importância matemática do trabalho de Cantor na teoria dos conjuntos, consulte, por exemplo, Suppes 1972.
  58. ^ Liouville, Joseph (13 de maio de 1844). A propos de l'existence des nombres transcendants.
  59. ^ Os números algébricos reais são as raízes reais das equações polinomiais com coeficientes inteiros.
  60. ^ Para obter mais detalhes sobre o artigo de Cantor, consulte o primeiro artigo de teoria dos conjuntos de Georg Cantor e
  61. Gray, Robert (1994). "Georg Cantor and Transcendental Numbers" (PDF). American Mathematical Monthly. 101 (9): 819–832. doi: 10.2307 / 2975129. JSTOR2975129. . Gray (pp. 821-822) descreve um programa de computador que usa as construções de Cantor para gerar um número transcendental.
  62. ^ A construção de Cantor começa com o conjunto de transcendentais T e remove um subconjunto contável <tn> (por exemplo, tn = e / n) Chame este conjunto T0. Então T = T0 ∪ <tn> = T0 ∪ <t2n-1> ∪ <t2n>. O conjunto de reais R = T ∪ <uman> = T0 ∪ <tn> ∪ <uman> onde uman é a sequência de números algébricos reais. Então ambos T e R são a união de três conjuntos disjuntos aos pares: T0 e dois conjuntos contáveis. Uma correspondência um-para-um entre T e R é dado pela função: f(t) = t E se tT0, f(t2n-1) = tn, e f(t2n) = uman. Cantor na verdade aplica sua construção aos irracionais em vez dos transcendentais, mas ele sabia que se aplica a qualquer conjunto formado pela remoção de muitos números contáveis ​​do conjunto de reais (Cantor 1879, p. 4).
  63. ^Dauben 1977, p. 89
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  68. ^Dauben 1979, pp. 69, 324 63n. O artigo foi submetido em julho de 1877. Dedekind o apoiou, mas atrasou sua publicação devido à oposição de Kronecker. Weierstrass apoiou ativamente.
  69. ^ Alguns matemáticos consideram esses resultados como tendo resolvido a questão e, no máximo, permitem que seja possível examinar as consequências formais do CH ou de sua negação, ou de axiomas que implicam um deles. Outros continuam a procurar axiomas "naturais" ou "plausíveis" que, quando adicionados ao ZFC, permitirão uma prova ou refutação do CH, ou mesmo evidências diretas a favor ou contra o próprio CH. Entre os mais proeminentes deles está W. Hugh Woodin. Um dos últimos artigos de Gödel argumenta que o CH é falso e o continuum tem cardinalidade Aleph-2.
  70. ^Cantor 1883, pp. 587–588 Tradução em inglês: Ewald 1996, pp. 916–917.
  71. ^Hallett 1986, pp. 41-42.
  72. ^Moore 1982, p. 42
  73. ^Moore 1982, p. 51. Prova de equivalência: Se um conjunto é bem ordenado, então sua cardinalidade é um aleph, uma vez que os alephs são os cardeais de conjuntos bem ordenados. Se a cardinalidade de um conjunto é um aleph, então ele pode ser bem ordenado, uma vez que há uma correspondência um a um entre ele e o conjunto bem ordenado que define o aleph.
  74. ^Hallett 1986, pp. 166-169.
  75. ^ A prova de Cantor, que é uma prova por contradição, começa assumindo que existe um conjunto S cuja cardinalidade não é um Aleph. Uma função dos ordinais para S é construída escolhendo sucessivamente diferentes elementos de S para cada ordinal. Se esta construção ficar sem elementos, então a função ordena bem o conjunto S. Isso implica que a cardinalidade de S é um Aleph, contradizendo a suposição sobre S. Portanto, a função mapeia todos os ordinais um a um em S. A imagem da função é uma submultiplicidade inconsistente contida em S, então o conjunto S é uma multiplicidade inconsistente, o que é uma contradição. Zermelo criticou a construção de Cantor: "a intuição do tempo se aplica aqui a um processo que vai além de toda intuição, e se postula uma entidade fictícia da qual se supõe que ela poderia fazer. sucessivo escolhas arbitrárias. "(Hallett 1986, pp. 169-170.)
  76. ^Moore 1988, pp. 52–53 Moore e Garciadiego 1981, pp. 330–331.
  77. ^Moore e Garciadiego 1981, pp. 331, 343 Purkert 1989, p. 56
  78. ^Moore 1982, pp. 158-160. Moore argumenta que o último foi sua principal motivação.
  79. ^ Moore dedica um capítulo a essa crítica: "Zermelo and His Critics (1904-1908)", Moore 1982, pp. 85-141.
  80. ^Moore 1982, pp. 158-160. Zermelo 1908, pp. 263–264 Tradução para o inglês: van Heijenoort 1967, p. 202
  81. ^Hallett 1986, pp. 288, 290-291. Cantor havia assinalado que multiplicidades inconsistentes enfrentam a mesma restrição: não podem ser membros de nenhuma multiplicidade. (Hallett 1986, p. 286.)
  82. ^Hallett 1986, pp. 291-292.
  83. ^Tradução para o inglês de Zermelo 1930: Ewald 1996, pp. 1208–1233.
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Literatura primária em Inglês Editar

Literatura primária na edição alemã

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  • Cantor, Georg (1932). Ernst Zermelo (ed.). "Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen inhalts". Berlim: Springer. Arquivado do original em 3 de fevereiro de 2014.. Quase tudo que Cantor escreveu. Inclui trechos de sua correspondência com Dedekind (p. 443–451) e a biografia de Cantor de Fraenkel (p. 452–483) no apêndice.

Literatura secundária Editar

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  • Halmos, Paul (1998) [1960]. Teoria de conjuntos ingênua. Nova York e Berlim: Springer. . 3-540-90092-6
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  • Penrose, Roger (2004). A estrada para a realidade. Alfred A. Knopf. . 0-679-77631-1 O capítulo 16 ilustra como o pensamento cantoriano intriga um importante físico teórico contemporâneo.
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  • "Cantor infinities", análise do artigo de Cantor de 1874, BibNum(para a versão em inglês, clique em 'à télécharger'). Existe um erro nesta análise. Ele afirma o Teorema 1 de Cantor corretamente: os números algébricos podem ser contados. No entanto, ele afirma seu Teorema 2 incorretamente: os números reais não podem ser contados. Em seguida, diz: "Cantor observa que, tomados em conjunto, os Teoremas 1 e 2 permitem a redemonstração da existência de números reais não algébricos ..." Esta demonstração de existência não é construtiva. O Teorema 2 afirmado corretamente é: Dada uma sequência de números reais, pode-se determinar um número real que não está na sequência. Tomados em conjunto, o Teorema 1 e este Teorema 2 produzem um número não algébrico. Cantor também usou o Teorema 2 para provar que os números reais não podem ser contados. Veja o primeiro artigo de teoria dos conjuntos de Cantor ou Georg Cantor e Números Transcendentais.

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Os problemas que Fibonacci resolveu em seu trabalho & ldquoFlos & rdquo colocaram especificamente para ele? - História

No capítulo anterior, mencionamos o imperador Frederico II, cuja corte estava localizada na Sicília. Seu incentivo às artes e ciências deu voz a um dos mais notáveis ​​matemáticos da Idade Média, Leonardo de Pisa, com quem começamos nossa discussão sobre a matemática da Idade Média tardia.

29.1 Leonardo de Pisa (Fibonacci)

Assim que as traduções do árabe para o latim se tornaram geralmente disponíveis nos séculos XII e XIII, os europeus ocidentais começaram a aprender álgebra. A primeira obra traduzida (por Robert de Chester em 1145) foi a de al-Khwarizmi Álgebra. Vários matemáticos talentosos apareceram cedo e foram capazes de fazer contribuições originais para o desenvolvimento da álgebra. Em alguns casos, os livros que escreveram não estavam destinados a ser publicados por muitos séculos, mas pelo menos um deles fazia parte de uma tradição italiana de álgebra que continuou por vários séculos. Essa tradição começa com Leonardo, que escreveu várias obras matemáticas, a mais conhecida das quais é o Liber abaci. 1

29.1.1 O Liber abaci

Muitos dos problemas no Liber abaci (Livro de Computação) refletem os cálculos de rotina que devem ser executados ao converter moedas. Essas são aplicações da Regra de Três que encontramos em Brahmagupta e Bhaskara. Muitos dos outros problemas são puramente fantasiosos. A dívida de Leonardo com fontes árabes foi detalhada por Levey (1966), que listou 29 problemas no Liber abaci que são idênticos aos problemas no Álgebra de Abu Kamil. Em particular, o problema de separar o número 10 em duas partes que satisfaçam uma condição extra ocorre muitas vezes. Por exemplo, um problema é encontrar x de tal modo que .

29.1.2 A Sequência de Fibonacci

A mais famosa (não a mais profunda) das realizações de Leonardo é um problema de sua Liber abaci, cuja segunda edição apareceu em 1202: Quantos pares de coelhos podem ser criados de um casal em um ano, sendo que cada casal produz um novo par a cada mês, começando dois meses após o seu nascimento?

Por enumeração de casos, o autor conclui que haverá 377 pares, e “desta forma você pode fazê-lo para o caso de um número infinito de meses”. O raciocínio é simples. A cada mês, os pares que estavam vivos dois meses antes produzem duplicatas de si mesmos. Daí o número total de coelhos após n + 2 meses é o número vivo após n + 1 mês mais o número de vivos após n meses. Ou seja, cada termo na sequência é a soma dos dois números anteriores.

Assumindo que o par original era um par maduro, pronto para reproduzir, a sequência gerada desta forma & mdash começando no início do ano, quando 0 meses se passaram & mdashis (1, 2, 3, 5, 8,...), E seu 13º termo é 377. Esta sequência é conhecida como o Sequência de Fibonacci desde a impressão do Liber abaci no século dezenove. A sequência de Fibonacci foi uma fonte inesgotável de identidades. Muitas representações curiosas de seus termos foram obtidas, e há um jornal matemático, o Fibonacci Quarterly, nomeado em sua homenagem e dedicado à sua tradição.

Uma aplicação prática

Em 1837 e 1839, o cristalógrafo Auguste Bravais (1811–1863) e seu irmão Louis (1801–1843) publicaram artigos sobre o crescimento das plantas. 2 Nesses artigos, eles estudaram os padrões de espiral em que novos ramos crescem dos galhos de certas árvores e classificaram as plantas em várias categorias de acordo com esse padrão. Para uma dessas categorias, eles deram a quantidade de rotação ao redor do membro entre ramos sucessivos como 137 ° 30 e 28 ”primos. Agora, dificilmente se poderia medir o galho de uma árvore com tanta precisão. Medir dentro de 10 ° exigiria uma precisão extraordinária. Para refinar tais medições brutas calculando a média para a precisão reivindicada de 1 ", ou seja, 1/3600 de um grau, exigiria milhares de medições individuais. Na verdade, as medições foram realizadas de forma mais indireta, contando o número total de ramos após cada volta completa da espiral. Muitas observações convenceram os irmãos Bravais de que normalmente havia três ramos em pouco menos de duas voltas, cinco em pouco mais de três voltas, oito em pouco menos de cinco voltas e treze em pouco mais de oito voltas. Por essa razão, eles consideraram a quantidade real de revolução entre ramos sucessivos como o número que chamamos de uma revolução completa (360 °), desde

Observe que 360 ​​° & divide & Phi ≈ 222. 4922359 ° ≈ 222 ° 29 & prime 32 ”= 360 ° e menos (137 ° 30 e prime 28”). Uma ilustração desse tipo de crescimento é mostrada em Fig. 29.1. A imagem mostra três vistas de um galho de uma macieira silvestre em flor com os galhos cortados e os pontos de onde cresceram marcados por alfinetes. Quando esses pinos são unidos por barbante, o barbante segue um caminho helicoidal de inclinação quase constante ao longo do galho. Simplesmente contando, pode-se ter uma ideia do número médio de galhos por turno. Por exemplo, a quarta interseção é entre os pinos 6 e 7, indicando que o número médio de pinos por curva até aquele ponto está entre e . Pode-se ver que os pinos que caem mais próximos à interseção deste caminho helicoidal com a linha meridiana marcada ao longo do comprimento do ramo são os pinos numerados 3, 5, 8 e 13, que são números de Fibonacci, e que as interseções são próximos vêm no final de 2, 3, 5 e 8 revoluções, respectivamente, também os números de Fibonacci. Assim, o número médio de galhos por volta é de aproximadamente ou ou ou . Os irmãos Bravais sabiam que as razões dos números sucessivos de Fibonacci são os termos da expansão contínua da fração da Razão Áurea e, portanto, escolheram essa maneira elegante de formular o que observaram.Olhando para o lado da interseção onde os pinos correspondentes estão Fig. 29.1, você pode ver que a primeira e a terceira dessas aproximações são subestimadas e a segunda e a quarta são superestimadas. Você também pode ver que a aproximação fica melhor conforme o número de voltas aumenta.

Figura 29.1 Três pontos de vista de um galho de uma macieira caranguejo florida.

Este padrão não é universal entre as plantas, embora os irmãos Bravais tenham conseguido encontrar várias classes de plantas que exibem um padrão deste tipo, com valores diferentes para os dois primeiros termos da sequência.

29.1.3 O Liber quadratorum

No dele Liber quadratorum [Livro das Praças (Sigler, 1987)] Leonardo especulou sobre a diferença entre números quadrados e não quadrados. No prólogo, dirigido ao imperador Frederico II, Leonardo diz que foi inspirado a escrever o livro porque um certo João de Palermo, que ele conheceu na corte de Frederico, o desafiou a encontrar um número quadrado tal que se 5 fosse adicionado a ele ou subtraído dele, o resultado é novamente um quadrado. 3 Essa pergunta o inspirou a refletir sobre a diferença entre números quadrados e não quadrados. Ele então observa seu prazer ao saber que Frederick tinha realmente lido um de seus livros anteriores e usa esse fato como justificativa para escrever sobre o problema do desafio.

o Liber quadratorum foi escrito com o espírito de Diofanto e mostra uma apreciação aguçada das condições em que um número racional é um quadrado. Na verdade, a nona de suas 24 proposições é um problema de Diofanto: Dado um número não quadrado que é a soma de dois quadrados, encontre um segundo par de quadrados tendo esse número como sua soma. Esse problema é o Problema 9 do Livro 2 de Diofanto, conforme discutido na Seção 4 do Capítulo 9. A solução de Leonardo para esse problema, como a de Diofante, envolve muita arbitrariedade, uma vez que o problema não tem uma solução única. A semelhança em alguns pontos é tão forte que se pode pensar que Leonardo viu uma cópia de Diofanto, ou, mais provavelmente, uma obra árabe comentando e estendendo a obra de Diofanto. Esta questão é discutida pelo tradutor do Liber quadratorum (Sigler, 1987, pp. Xi-xii), que observa que fortes semelhanças foram apontadas entre os Liber quadratorum e um livro de Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn Al-Karaji (953-1029) chamado de Fakhri, 4 partes das quais foram copiadas do Aritmética, mas que também existem partes do Liber quadratorum que são originais.

Um avanço no Liber quadratorum é o uso de letras gerais em um argumento. Embora em algumas provas Leonardo argumente da mesma forma que Diofanto, usando números específicos, ele se torna mais abstrato em outras. Por exemplo, a proposição 5 requer encontrar dois números, a soma de cujos quadrados é um quadrado que também é a soma dos quadrados de dois números dados. Ele diz para proceder da seguinte forma. Sejam os dois números dados. uma . e. b . e a soma de seus quadrados. g . . Agora pegue quaisquer outros dois números. de . e. ez . [não proporcional aos números dados] a soma de cujos quadrados é um quadrado. Esses dois números são organizados como as pernas de um triângulo retângulo. Se o quadrado da hipotenusa desse triângulo for. g ., o problema está resolvido. Se o quadrado da hipotenusa for maior que. g ., marque a raiz quadrada de. g . na hipotenusa. As projeções (como as chamaríamos) dessa porção da hipotenusa em cada uma das pernas são conhecidas, desde suas proporções em relação à raiz quadrada de. g . são conhecidos. Além disso, essa proporção é racional, uma vez que são iguais às proporções de. uma . e. b . à hipotenusa do triângulo original. Essas duas projeções fornecem, portanto, o novo par de números. Sendo proporcional a. uma . e. b ., que não são proporcionais aos dois números dados originalmente, eles devem ser diferentes desses números.

Esse argumento é mais convincente, porque é mais abstrato, do que as provas por exemplo, mas a imagem geométrica desempenha um papel importante em tornar a prova compreensível.

29.1.4 Os Flos

A abordagem de Leonardo da álgebra começa a parecer moderna também de outras maneiras. Em uma de suas obras, chamada de Flos super solutionibus quarumdam questionum ad numerum et ad geometriam vel ad utrumque pertinentum [O Desenvolvimento Completo 5 das soluções de certas questões relativas ao número ou geometria ou ambos (Boncompagni 1854, p. 4)] ele relata o desafio de João de Palermo mencionado acima, que era encontrar um número satisfatório x 3 + 2x 2 + 10x = 20 usando os métodos dados por Euclides no Livro 10 do Elementos, isto é, construir uma linha desse comprimento usando régua e compasso. Ao trabalhar nessa questão, Leonardo fez duas contribuições importantes para a álgebra, uma numérica e outra teórica. A contribuição numérica foi dar a raiz positiva única na notação sexagesimal correta para seis casas. A contribuição teórica foi mostrar, usando propriedades de divisibilidade de números, que não pode haver uma solução racional ou uma solução obtida usando apenas números racionais e raízes quadradas de números racionais.

29.2 numerais hindu-arábicos

o Liber abaci defendeu o uso de numerais hindu-arábicos com os quais estamos familiarizados. Em parte devido à influência daquele livro, as vantagens desse sistema passaram a ser apreciadas e, em dois séculos, esses números estavam ganhando aceitação geral. Em 1478, uma aritmética foi publicada em Treviso, Itália, explicando o uso de numerais hindu-arábicos e contendo cálculos na forma mostrada em Fig 26.1 do capítulo 26. No século XVI, estudiosos como Robert Recorde (1510–1558) na Grã-Bretanha e Adam Ries (1492–1559) na Alemanha, defenderam o uso do sistema hindu-árabe e o estabeleceram como um padrão universal.

O sistema foi explicado pelo matemático e engenheiro flamengo Simon Stevin (1548–1620) em seu livro de 1585 De Thiende (Decimais) Stevin levou apenas algumas páginas para explicar, em termos essencialmente modernos, como somar, subtrair, multiplicar e dividir números decimais. Ele então mostrou a aplicação deste método de computação para encontrar áreas de terra e os volumes de tonéis de vinho. Ele escreveu de forma concisa, como disse, “porque aqui estamos escrevendo para professores, não para alunos”. Sua notação parece um pouco estranha, entretanto, uma vez que ele colocou um 0 circulado onde agora temos a vírgula decimal e, a partir daí, indicou a classificação de cada dígito por um número similarmente circundado. Por exemplo, ele escreveria 13,4832 como . Aqui está sua explicação do problema de expressar 0,07 e dividir 0,00004:

Quando o divisor é maior [tem mais dígitos] do que o dividendo, juntamos ao dividendo tantos zeros quanto desejado ou necessário. Por exemplo, se deve ser dividido por , Coloco alguns 0s ao lado do 7, ou seja, 7000. Esse número é então dividido como acima, da seguinte maneira:

Portanto, o quociente é 1750 0 (Gericke e Vogel, 1965, p. 19).

De uma ilustração de 1535 aoMargarita philosophica (Pérola Filosófica) publicado por Gregor Reisch (1467–1525) em 1503. Copyright & copy FotoMarburg / Art Resource.

Exceto pela localização dos dígitos e das marcas riscadas, essa notação é essencialmente o que agora é usado por crianças em idade escolar nos Estados Unidos. Em outros países, & mdashRússia, por exemplo & mdash, o divisor seria escrito logo à direita do dividendo e o quociente logo abaixo do divisor.

Stevin também sabia o que fazer se a divisão não der certo. Ele apontou que quando é dividido por , o resultado é uma sucessão infinita de 3s e que a resposta exata nunca será alcançada. Ele comentou: “Nesse caso, pode-se ir tão longe quanto o caso particular exigir e negligenciar o excesso. Certamente é verdade que , ou e assim por diante, são exatamente iguais ao resultado exigido, mas nosso objetivo é trabalhar apenas com números inteiros neste cálculo decimal, uma vez que temos em mente o que ocorre nos negócios humanos, onde [pequenas partes de pequenas medidas] são ignoradas. ” Aqui temos um caso claro em que a existência de expansões decimais infinitas é admitida, sem qualquer indício da possibilidade de números irracionais. Stevin era um engenheiro, não um matemático teórico. Seus exemplos limitaram-se ao que é de valor prático nos negócios e na engenharia, e ele não fez nenhuma tentativa de mostrar como calcular com uma expansão decimal realmente infinita.

Stevin, no entanto, sugeriu uma reforma na trigonometria que foi ignorada até o advento das calculadoras portáteis, observando que, "se podemos confiar em nossa experiência (com todo o devido respeito à Antiguidade e pensando em termos de utilidade geral), é claro que a série de divisões por 10, não por 60, é a mais eficiente, pelo menos entre aquelas que são por natureza possíveis. ” Com base nisso, Stevin sugeriu que os graus fossem divididos em frações decimais em vez de minutos e segundos. As calculadoras portáteis modernas agora exibem ângulos exatamente dessa maneira, apesar da observação desdenhosa de um matemático do século XX de que essa mistura de notação sexagesimal e decimal prova que “foram necessários quatro milênios para produzir um sistema de medição de ângulo que é completamente absurdo. ”

29.3 Jordanus Nemorarius

O tradutor e editor do livro de Jordanus De numeris datis (Em determinados números, Hughes, 1981, p. 11) diz: “É razoável supor. . .que Jordanus foi influenciado pelo trabalho de al-Khwarizmi. ” Esta conclusão foi alcançada com base na classificação de Jordanus das equações quadráticas e sua ordem de exposição dos três tipos, entre outras semelhanças entre as duas obras.

De numeris datis é o equivalente algébrico de Euclides Dados. Onde Euclides diz que uma linha é dada (determinada) se sua razão para uma dada linha for dada, Jordanus Nemorarius diz que um número é dado se sua razão para um determinado número for dada. O conhecido fato elementar de que dois números podem ser encontrados se sua soma e diferença são conhecidas é generalizado para o teorema de que qualquer conjunto de números pode ser encontrado se as diferenças dos números sucessivos e a soma de todos os números forem conhecidas. Este livro contém uma grande variedade de conjuntos de dados que determinam números. Por exemplo, se a soma dos quadrados de dois números for conhecida, e o quadrado da diferença dos números for conhecido, os números podem ser encontrados. Os quatro livros de De numeris datis contém cerca de 100 desses resultados. Esses resultados admitem uma interpretação puramente algébrica. Por exemplo, no Livro 4, Jordanus Nemorarius escreve:

Se um quadrado com a adição de sua raiz multiplicada por um determinado número resulta em um determinado número, então o próprio quadrado será dado. [p. 100] 6

Onde os primeiros matemáticos teriam provado essa proposição com exemplos, Jordanus Nemorarius usa letras que representam números abstratos. A afirmação é que há apenas um número (positivo) x de tal modo que x 2 + & alphax = &beta, e essa x pode ser encontrado se &alfa e &beta são dados.

29,4 Nicole d'Oresme

Uma obra intitulada Tractatus de latitudinibus formarum (Tratado sobre a latitude das formas) foi publicado em Paris em 1482 e atribuído a Oresme, mas provavelmente escrito por um de seus alunos. Ele contém descrições da representação gráfica de "intensidades". Este conceito encontra várias expressões na física, correspondendo intuitivamente à ideia de densidade. Na linguagem de Oresme, uma “intensidade” é qualquer constante de proporcionalidade. Velocidade, por exemplo, é a “intensidade” do movimento.

Pensamos na geometria analítica como a aplicação da álgebra à geometria. Suas origens na Europa, no entanto, são anteriores ao alto período da álgebra europeia em um século ou mais. O primeiro ajuste na maneira como os matemáticos pensam sobre as dimensões físicas, um passo essencial no caminho para a geometria analítica, ocorreu no século XIV. A ideia crucial encontrada na representação da distância como a "área sob a curva de velocidade" era que, uma vez que a área de um retângulo é calculada multiplicando o comprimento e largura e a distância percorrida em velocidade constante é calculada multiplicando a velocidade e o tempo, segue-se que se uma linha é tomada proporcional ao tempo e uma linha perpendicular a ela é proporcional a uma velocidade (constante), a área do retângulo resultante é proporcional à distância percorrida.

Oresme considerou três formas de qualidades, que rotulou uniforme, difere uniformemente, e difformly difformly. Chamaríamos essas classificações de constantes, lineares e não lineares. Os exemplos são mostrados em Fig. 29.2, que pode ser encontrada em outra obra de Oresme. Oresme (ou seus alunos) percebeu que o “difformly difform” constituía uma grande classe de qualidades e mencionou especificamente que um semicírculo poderia ser a representação de tal qualidade.

Figura 29.2 Classificação dos movimentos de Nicole Oresme.

A vantagem de representar um distância por um área em vez de uma linha apareceu no caso em que a velocidade mudou durante um movimento. No caso não trivial mais simples, a velocidade era uniformemente diferente. É o caso da aceleração constante. Nesse caso, a distância percorrida é a que teria sido se o corpo tivesse se movido o tempo todo com a velocidade que tinha no ponto médio do tempo de viagem. Este é o caso agora chamado uniformemente acelerado movimento. De acordo com Clagett (1968, p. 617), essa regra foi declarada pela primeira vez por William Heytesbury (ca. 1313-ca. 1372) do Merton College, Oxford por volta de 1335 e era bem conhecida durante a Idade Média. Boyer (1949, p. 83) diz que a regra foi declarada nessa época por outro estudioso de Oxford do século XIV chamado Richard Suiseth, 7 conhecido como Calculadora por seu livro Liber calculatorum. Suiseth divide com Oresme o crédito por ter provado que a série harmônica () diverge.

A regra que acabamos de declarar é chamada de Regra de Merton. No livro dele De configurationibus qualitatum et motuum, Oresme aplicou esses princípios à análise de tal movimento e deu uma prova geométrica simples da Regra de Merton. Ele ilustrou os três tipos de movimento desenhando uma figura semelhante a Fig. 29.2. Ele prosseguiu dizendo que se uma qualidade de forma diferente fosse composta de partes uniformes ou de forma uniforme, como no exemplo em Fig. 29.2, sua quantidade poderia ser medida (adicionando) suas partes. Ele então levou esse princípio ao limite, dizendo que se a qualidade era diferente, mas não era composta de partes uniformemente diferentes, digamos, sendo representada por uma curva, então "é necessário recorrer à medição mútua de figuras curvas" (Clagett , 1968, pág. 410). Esta afirmação deve significar que a distância percorrida é a “área sob a curva de velocidade” em todos os três casos. Oresme infelizmente não deu nenhum exemplo do caso mais geral, mas dificilmente poderia tê-lo feito, uma vez que a medição das figuras delimitadas por curvas ainda era muito primitiva em sua época.

29,5 Trigonometria: Regiomontanus e Pitiscus

No final da Idade Média, os tratados traduzidos para o latim do árabe e do grego tornaram-se a base para teorias matemáticas cada vez mais elaboradas.

29.5.1 Regiomontanus

A geometria analítica como a conhecemos hoje seria impensável sem a trigonometria plana. Traduções latinas de textos árabes de trigonometria, como o texto de Nasir al-Din al-Tusi, começaram a circular na Europa no final da Idade Média. Essas obras forneceram a base para livros como De triangulis omnimodis (Em Triângulos Gerais) por Regiomontanus, publicado em 1533, mais de meio século após a morte do autor. Este livro continha trigonometria quase na forma ainda ensinada. O Livro 2, por exemplo, contém como seu primeiro teorema a lei dos senos para triângulos planos, que afirma que os lados dos triângulos são proporcionais aos senos dos ângulos opostos a eles. A principal diferença entre esta trigonometria e a nossa é que um seno permanece um linha ao invés de um Razão. É referido a um arco ao invés de um ângulo. Já se acreditava que Regiomontanus descobriu a lei dos senos para triângulos esféricos (Proposição 16 do Livro 4) também, 8 mas agora sabemos que esse teorema era conhecido pelo menos 500 anos antes por matemáticos muçulmanos cuja obra Regiomontanus deve ter lido.

29.5.2 Pitiscus

Um livro mais avançado sobre trigonometria, que retrabalhou o raciocínio de Heron sobre a área de um triângulo dados seus lados, foi Trigonometri e aelig sive de dimensione triangulorum libri quinque (Cinco livros de trigonometria, ou sobre o tamanho dos triângulos), publicado em 1595 e escrito pelo teólogo calvinista Bartholomeus Pitiscus (1561–1613). Este foi o livro que estabeleceu o nome trigonometria para este assunto, embora as funções básicas sejam chamadas circular funções (Fig. 29.3) Pitiscus mostrou como determinar as partes em que um lado de um triângulo é dividido pela altitude, dados os comprimentos dos três lados, ou, inversamente, determinar um lado de um triângulo conhecendo os outros dois lados e o comprimento da porção do terceiro lado cortado pela altitude. Para garantir que os ângulos adjacentes ao lado eram agudos, ele declarou o teorema apenas para a altitude do vértice do maior ângulo.

Figura 29.3 As três funções trigonométricas básicas: A secante OB, que corta o círculo pela tangente AB, que toca o círculo o seno CD, que é a metade de um acorde.

A maneira de Pitiscus derivar sua relação fundamental foi a seguinte. Se o lado mais curto do triângulo abc é AC e o mais longo é AC, deixe a altitude para AC ser AG, como em Fig. 29.4. Desenhe o círculo através C com centro em UMA, para que B fica fora do círculo, e deixe as interseções do círculo com AB e AC ser E e F, respectivamente. Então estenda BA para encontrar o círculo em De conectar CD. Então & angBFE é o suplemento de & angCFE. Mas & angEDC também é complementar ao & angCFE, uma vez que os dois estão inscritos em arcos que dividem o círculo. Assim, & angBFE = & ang CDB, e então os triângulos BCD e BEF são similares. Segue que , e desde , , , e , nós achamos

Observe aquilo . Quando essa substituição é feita, obtemos o que agora é conhecido como o lei dos cossenos:

Figura 29.4 Derivação de Pitiscus das proporções em que uma altitude divide um lado de um triângulo.

Pitiscus também deu uma solução algébrica para o problema da trissecção descoberto por um matemático anterior chamado Jobst B & uumlrgi (1552-1632). A solução foi baseada no fato de que a corda do ângulo triplo an é três vezes a corda do ângulo menos o cubo da corda do ângulo. Esta relação não faz sentido em termos de dimensão geométrica, é uma relação puramente numérica. É interessante que seja expresso em termos de acordes, já que Pitiscus certamente conhecia os senos.

29.6 Uma habilidade matemática: Prosthaph & AEligresis

Pitiscus precisava de trigonometria para fazer astronomia, especialmente para resolver triângulos esféricos. Uma vez que os cálculos nesses problemas costumam se tornar bastante demorados, Pitiscus descobriu (provavelmente nos escritos de outros matemáticos) uma maneira de encurtar o trabalho. Enquanto a dificuldade de adição e subtração cresce a uma taxa linear uniforme com o número de dígitos sendo adicionados, multiplicando dois n- números de dígitos requerem na ordem de 2n 2 operações binárias separadas em inteiros. Assim, o trabalho se torna excessivo e sujeito a erros para números inteiros com qualquer número apreciável de dígitos. À medida que a astronomia se torna mais precisa, é claro, o número de dígitos com os quais as quantidades podem ser medidas aumenta. Assim, surgiu há alguns séculos a necessidade de uma maneira mais curta e menos sujeita a erros de fazer cálculos aproximados.

O resultado final da busca por tal método foi objeto de logaritmos. Essa invenção, no entanto, exigia um ponto de vista novo e diferente em álgebra. Antes que surgisse, os matemáticos encontraram uma maneira de fazer uma tabela de senos servir ao propósito que mais tarde foi cumprido por logaritmos. Na verdade, o processo poderia ser bastante simplificado usando apenas uma tabela de cossenos, mas seguiremos Pitiscus, que usou apenas uma tabela de senos e, portanto, foi forçado a calcular o complemento de um ângulo onde simplesmente procuraríamos o cosseno. O princípio é o mesmo: converter um produto em uma ou duas adições e subtrações e daí o nome prosthaph e aeligresis, a partir de prótese e aeligrese(levando adiante, isto é, adição) e afh e aeligresis (tirar, isto é, subtração).

Como acabamos de apontar, a quantidade de trabalho envolvida na multiplicação de dois números aumenta em proporção direta ao produto dos números de dígitos nos dois fatores, enquanto o trabalho de somar aumenta em proporção ao número de dígitos no número menor. Assim, a multiplicação de dois números de 15 dígitos requer mais de 200 multiplicações de um dígito e outras 200 ou mais adições de um dígito, enquanto a adição dos dois números requer apenas 15 dessas operações (sem incluir o transporte). Foi o grande número de dígitos nas entradas da tabela que causou o problema em primeiro lugar, mas a chave para a solução acabou por estar nas propriedades estruturais da função seno.

Existem indícios desse processo em várias obras do século XVI, mas citaremos apenas um exemplo. No dele Trigonometria, publicado pela primeira vez em Heidelberg em 1595, Pitiscus apresentou o seguinte problema: Resolver a proporção em que o primeiro termo é o raio, enquanto o segundo e o terceiro termos são senos, evitando multiplicação e divisão. O problema aqui é encontrar a quarta proporção x, satisfatório r : uma = b : x, Onde r é o raio do círculo e umae b são dois senos (meio-acordes) no círculo. Podemos ver imediatamente que x = ab/r, mas como diz Pitiscus, a ideia é evitar a multiplicação e a divisão, já que nas tabelas trigonométricas o tempo uma e b pode facilmente ter sete ou oito dígitos cada.

A chave para prosthaph e aeligresis é a fórmula bem conhecida

Esta fórmula é aplicada da seguinte maneira: Se você tiver que multiplicar dois números grandes, encontre dois ângulos que tenham os números como seus senos. Substitua um dos dois ângulos por seu complemento. Em seguida, some os ângulos e obtenha o seno de sua soma para obter o primeiro termo, então subtraia os ângulos e obtenha o seno de sua diferença para obter um segundo termo. Por fim, divida a soma desses dois últimos senos por 2 para obter o produto. Para tomar um exemplo muito simples, suponha que desejamos multiplicar 155 por 36. Uma tabela de funções trigonométricas mostra que sin (8 ° 55 ') = 0,15500 e sin (90 ° e menos 68 ° 54') = 0,36000. Portanto, uma vez que movemos as casas decimais um total de cinco casas para a esquerda nos dois fatores, obtemos

Em geral, alguns algarismos significativos serão perdidos neste tipo de multiplicação. Obviamente, nenhum trabalho é economizado neste exemplo simples, mas para grandes números, esse procedimento realmente torna as coisas mais fáceis. Na verdade, a multiplicação de até mesmo dois números de sete dígitos sobrecarregaria a paciência da maioria das pessoas modernas, uma vez que exigiria cerca de 100 multiplicações e adições separadas. Outra vantagem é que prosthaph e aeligresis é menos sujeito a erros do que a multiplicação. Suas vantagens eram conhecidas do astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601), 9 que o usou nos cálculos astronômicos relacionados com as observações precisas que ele fez em seu observatório durante a última parte do século dezesseis.

Este processo pode ser simplificado usando a fórmula de adição e subtração para cossenos em vez de senos. Essa fórmula é

29.7 Álgebra: Pacioli e Chuquet

O século XIV, no qual Nicole d'Oresme fez avanços notáveis ​​na geometria e quase criou a geometria analítica, também foi uma época de rápido avanço na álgebra, resumido por Antonio de 'Mazzinghi (ca. 1353-1383). Seu Trattato d'algebra (Tratado de Álgebra) contém alguns sistemas complicados de equações lineares e quadráticas em até três desconhecidos (Franci, 1988). Ele foi um dos primeiros algebraistas a mover o assunto em direção ao numérico e longe da interpretação geométrica dos problemas.

29.7.1 Luca Pacioli

No século XV, Luca Pacioli escreveu Summa de arithmetica, geometrica, propori et proporcionalita (Enciclopédia de Aritmética, Geometria, Proporção e Proporcionalidade), que estava mais próximo do trabalho elementar de al-Khwarizmi e mais geométrico em sua abordagem da álgebra do que o trabalho de Mazzinghi. Na verdade, (Parshall, 1988) a obra foi em grande parte uma compilação das obras de Leonardo de Pisa, mas aproximou a arte da abreviatura da verdadeira notação simbólica. Por exemplo, o que agora escrevemos como foi escrito por Pacioli como

Aqui co meios Cosa (coisa), o desconhecido. É uma tradução da palavra árabe usada por al-Khwarizmi. A abreviatura ce meios censo (potência), e Rv é provavelmente uma versão impressa de Rx, do latim raiz, significado raiz. 10 O trabalho de Pacioli foi tanto uma indicação de quão difundido o conhecimento da álgebra havia se tornado nessa época, quanto um elemento importante na propagação desse conhecimento ainda mais amplamente. Os algebristas italianos do século XVI que se moveram para a vanguarda do assunto e o levaram muito além de onde estavam até então haviam lido o tratado de Pacioli por completo.

29.7.2 Chuquet

De acordo com Flegg (1988), em cujo trabalho se baseia a exposição a seguir, havia várias coisas novas no Tripartido. Um é uma notação sobrescrita semelhante à notação moderna para os poderes do desconhecido em uma equação. O próprio desconhecido é chamado de premier ou “primeiro”, isto é, potência 1 do desconhecido. Neste trabalho, a álgebra é chamada de Rigle des Premiers “Regra dos primeiros”. Chuquet listou as primeiras 20 potências de 2 e apontou que, quando dois desses números são multiplicados, seus índices são somados. Assim, ele tinha uma ideia clara das leis dos expoentes inteiros. Uma segunda inovação no Tripartido é o uso gratuito de números negativos como coeficientes, soluções e expoentes. Ainda outra inovação é o uso de algumas abreviações simbólicas. Por exemplo, a raiz quadrada é denotada R 2 (R para o latim raiz, ou talvez o francês racine) A equação que escreveríamos como 3x 2 + 12 = 9x foi escrito . Chuquet chamou essa equação de impossível, pois sua solução envolveria tirar a raiz quadrada de & menos63.

Suas instruções são dadas em palavras. Por exemplo (Struik, 1986, p. 62), considere a equação

Chuquet diz para subtrair de ambos os lados, de modo que a equação se torne

Em seguida, ele diz para esquadrinhar, obtendo

Subtraindo (isto é, 4x 2) de ambos os lados e adicionando para ambos os lados, então cede

A abordagem de Chuquet à álgebra e sua aplicação podem ser obtidas a partir de um dos problemas ilustrativos da segunda parte (Problema 35). Este problema fala de um comerciante que compra 15 peças de tecido, gastando um total de 160 ecus. Algumas das peças custam 11 ecus cada e as outras 13 ecus. Quantos foram comprados em cada preço?

Se x é o número comprado a 11 ecus cada, este problema leva à equação 11x + 13 (15 e menos x) = 160. Uma vez que a solução é , isso significa que o comerciante comprou peças a 13 ecus. Como alguém começa a comprar um número negativo de peças de tecido? Chuquet disse que estes peças foram compradas a crédito!

Problemas e Dúvidas

Problemas Matemáticos

29.1 Faça a descrição de Leonardo da maneira de encontrar dois números cuja soma dos quadrados é um quadrado que é a soma de dois outros quadrados dados no caso particular em que os números dados são. uma . = 5 e. b . = 12 (a soma de cujos quadrados é 169 = 13 2). Leva. de . = 8 e. ez . = 15. Desenhe o triângulo retângulo descrito por Leonardo e execute também o cálculo numérico que produz o novo par para o qual a soma dos quadrados é novamente 169.

29.2 Use a lei dos cossenos de Pitiscus para encontrar o terceiro lado de um triângulo com lados de 6 cm e 8 cm de comprimento e de forma que a altitude ao lado de 8 cm o divida em comprimentos de 5 cm e 3 cm. (Existem dois triângulos possíveis, dependendo da orientação.)

29.3 Usar prosthaph e aeligresis para encontrar o produto 829,038 e 66,9131 vezes. (Escreva primeiro este produto como 10 5 & vezes 0,829038 & vezes 0,669131. Encontre os ângulos que têm os dois últimos números como cossenos e use a fórmula de adição e subtração para cossenos fornecida acima.)

Questões Históricas

29.4 Que partes do trabalho algébrico de Leonardo de Pisa foram compilações de trabalhos em fontes anteriores e quais partes foram avanços nesse trabalho anterior?

29.5 De que forma o trabalho geométrico de Nicole de Oresme prefigurou a geometria analítica moderna?

29.6 Como Regiomontanus e Pitiscus mudaram a maneira como os matemáticos pensavam sobre trigonometria? Como a trigonometria deles continuou a diferir do que usamos hoje?

Perguntas para reflexão

29.7 Havia valor científico em fazer uso do real (irracional, infinitamente preciso) número & Phi, como os irmãos Bravais fizeram, embora nenhuma planta real cresça exatamente de acordo com a regra que eles declararam? Por que uma aproximação racional não funcionaria tão bem?

29.8 Como a noção de dimensão geométrica (comprimento, área, volume) limitou o uso de métodos numéricos em geometria? Como a latitude de formas de Oresme ajudou a superar essa limitação?

29.9 Faz sentido interpretar a compra de um número negativo de itens como um valor comprado a crédito? Seria melhor interpretar tal “compra” como mercadoria devolvida?

1. Devlin (2011), que examinou os antigos manuscritos desta obra, diz que está com a grafia correta Liber abbaci. A grafia que estamos usando apenas preserva um uso tradicional de longa data.

2. Veja o artigo de I. Adler, D. Barabe e R. V. Jean, "A history of the study of phyllotaxis", Annals of Botany, 80 (1997), pp. 231-244, especialmente p. 234. Os artigos de Auguste e Louis Bravais são “Essai sur la disposition g & eacuten & eacuterale des feuilles curvis & eacuteri & eacutees,” Annales des sciences naturelles, 7 (1837), pp. 42-110, e "Essai sur la disposition g & eacuten & eacuterale des feuilles rectis & eacuteri & eacutees," Congr & egraves scientifique de France, 6 (1839), pp. 278–330.

3. Leonardo deu uma discussão geral de problemas desse tipo, perguntando quando m 2 + kn 2 e m2 + 2kn 2 podem ser quadrados.

4. Aparentemente, esta palavra significa algo como glorioso e o título completo pode ser traduzido como A Glória da Álgebra.

5. A palavra flos meios florescer e pode ser usado no sentido figurado de "o florescimento da juventude". Esse parece ser o seu significado aqui.

6. Esta tradução é minha e pretende ser literal. Hughes oferece uma tradução mais suave e idiomática na pág. 168

7. Também conhecido como Richard Swyneshed e como Swineshead com uma grande variedade de nomes próprios. Não há certeza se as obras atribuídas a este nome são todas devidas à mesma pessoa.

8. Esta lei diz que os senos dos lados de triângulos esféricos são proporcionais aos senos de seus ângulos opostos. (Ambos os lados e ângulos em um triângulo esférico são medidos em graus de grande círculo.)

9. A fórmula para o produto de dois senos foi descoberta em 1510 por Johann Werner (1468-1522). Esta fórmula e a fórmula semelhante para cossenos foram publicadas pela primeira vez em 1588 em um pequeno livro intitulado Fundamentum astronomicum escrito por Nicolai Reymers Baer (datas incertas), conhecido como Ursus, que é a tradução latina de Baer. Brahe, no entanto, já havia notado sua aplicação na trigonometria esférica e os vinha usando durante a década de 1580. Ele até reivindicou o crédito por desenvolver ele mesmo a técnica. A origem da técnica de prosthaph e aeligresis é complicado e incerto. Uma discussão sobre isso foi dada por Thoren (1988).

10. O símbolo Rx não deve ser confundido com o mesmo símbolo em farmácia, que vem do latim receita, significado leva.


Conteúdo

A sequência de Fibonacci aparece na matemática indiana em conexão com a prosódia sânscrita, como apontado por Parmanand Singh em 1986. [8] [10] [11] Na tradição poética sânscrita, havia interesse em enumerar todos os padrões de sílabas longas (L) de 2 unidades de duração, justapostas com sílabas curtas (S) de 1 unidade de duração. Contar os diferentes padrões de L e S sucessivos com uma determinada duração total resulta nos números de Fibonacci: o número de padrões de duração m unidades é Fm + 1 . [9]

Variações de dois metros anteriores [é a variação]. Por exemplo, para [um metro de comprimento] quatro, variações de metros de dois [e] três sendo misturadas, ocorrem cinco. [trabalha os exemplos 8, 13, 21]. Desta forma, o processo deve ser seguido em todos mātrā-vṛttas [combinações prosódicas]. [uma]

Hemachandra (c. 1150) também é creditado com o conhecimento da sequência, [7] escrevendo que "a soma do último e o anterior ao último é o número. Do próximo mātrā-vṛtta." [15] [16]

Fora da Índia, a sequência de Fibonacci aparece pela primeira vez no livro Liber Abaci (O Livro do Cálculo, 1202) por Fibonacci [6] [17] onde é usado para calcular o crescimento das populações de coelhos. [18] [19] Fibonacci considera o crescimento de uma população de coelhos idealizada (biologicamente irrealista), supondo que: um casal reprodutor recém-nascido de coelhos é colocado em um campo em que cada casal reprodutor acasala com a idade de um mês e no final de seu segundo mês eles sempre produzem outro par de coelhos e os coelhos nunca morrem, mas continuam a procriar para sempre. Fibonacci propôs o quebra-cabeça: quantos pares haverá em um ano?

  • No final do primeiro mês, eles acasalam, mas ainda há apenas 1 par.
  • No final do segundo mês, eles produzem um novo par, portanto, há 2 pares no campo.
  • No final do terceiro mês, o par original produz um segundo par, mas o segundo par apenas acasala sem procriar, portanto, são 3 pares ao todo.
  • No final do quarto mês, o par original produziu mais um novo par, e o par nascido há dois meses também produz o primeiro par, perfazendo 5 pares.

No final de n º mês, o número de pares de coelhos é igual ao número de pares maduros (ou seja, o número de pares no mês n - 2) mais o número de pares vivos no mês passado (mês n - 1). O número no n º mês é o n o número de Fibonacci. [20]

O nome "sequência de Fibonacci" foi usado pela primeira vez pelo teórico dos números do século 19, Édouard Lucas. [21]

Os primeiros 21 números de Fibonacci Fn são: [2]

F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17 F18 F19 F20
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765

A sequência também pode ser estendida para índice negativo n usando a relação de recorrência reorganizada

que produz a sequência de números "negafibonacci" [22] satisfazendo

Assim, a sequência bidirecional é

F−8 F−7 F−6 F−5 F−4 F−3 F−2 F−1 F0 F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8
−21 13 −8 5 −3 2 −1 1 0 1 1 2 3 5 8 13 21

Expressão de forma fechada Editar

Como toda sequência definida por uma recorrência linear com coeficientes constantes, os números de Fibonacci têm uma expressão de forma fechada. Tornou-se conhecido como Fórmula de Binet, em homenagem ao matemático francês Jacques Philippe Marie Binet, embora já fosse conhecido por Abraham de Moivre e Daniel Bernoulli: [23]

Segue-se que para quaisquer valores uma e b , a sequência definida por

Se uma e b são escolhidos para que você0 = 0 e você1 = 1 então a sequência resultante vocên deve ser a sequência de Fibonacci. Isso é o mesmo que exigir uma e b satisfazer o sistema de equações:

Pegando os valores iniciais você0 e você1 para serem constantes arbitrárias, uma solução mais geral é:

Edição de cálculo por arredondamento

para todos n ≥ 0, o número Fn é o número inteiro mais próximo de φ n 5 < displaystyle < frac < varphi ^> < sqrt <5> >>>. Portanto, ele pode ser encontrado por arredondamento, usando a função de número inteiro mais próximo:

Na verdade, o erro de arredondamento é muito pequeno, sendo inferior a 0,1 para n ≥ 4 e menos de 0,01 para n ≥ 8 .

Os números de Fibonacci também podem ser calculados por truncamento, em termos da função de chão:

Como a função de base é monotônica, a última fórmula pode ser invertida para encontrar o índice n(F) do maior número de Fibonacci que não seja maior que um número real F & gt 1:

Limite de quocientes consecutivos Editar

Johannes Kepler observou que a proporção de números de Fibonacci consecutivos converge. Ele escreveu que "como 5 está para 8, então é 8 para 13, praticamente, e como 8 está para 13, então é 13 para 21 quase" e concluiu que essas proporções se aproximam da proporção áurea φ: < displaystyle varphi colon > [26] [27]

Esta convergência se mantém independentemente dos valores iniciais, excluindo 0 e 0, ou qualquer par na proporção áurea conjugada, - 1 / φ. < displaystyle -1 / varphi.> [ esclarecimento necessário ] Isso pode ser verificado usando a fórmula de Binet. Por exemplo, os valores iniciais 3 e 2 geram a sequência 3, 2, 5, 7, 12, 19, 31, 50, 81, 131, 212, 343, 555,. A proporção de termos consecutivos nesta sequência mostra a mesma convergência para a proporção áurea.

Decomposição de poderes Editar

Uma vez que a proporção áurea satisfaz a equação

Esta expressão também é verdadeira para n & lt 1 se a sequência de Fibonacci Fn é estendido a inteiros negativos usando a regra de Fibonacci F n = F n - 1 + F n - 2. < displaystyle F_= F_+ F_.>

Um sistema bidimensional de equações de diferença linear que descreve a sequência de Fibonacci é

De forma equivalente, o mesmo cálculo pode ser realizado por diagonalização de UMA através do uso de sua composição original:

O Matrix UMA tem um determinante de -1 e, portanto, é uma matriz unimodular 2 × 2.

Esta propriedade pode ser entendida em termos da representação da fração contínua para a proporção áurea:

Os números de Fibonacci ocorrem como a razão de convergentes sucessivos da fração contínua para φ, e a matriz formada a partir de convergentes sucessivos de qualquer fração contínua tem um determinante de +1 ou -1. A representação da matriz fornece a seguinte expressão de forma fechada para os números de Fibonacci:

Tomando o determinante de ambos os lados desta equação produz a identidade da Cassini,

Além disso, desde UMA n UMA m = UMA n+m para qualquer matriz quadrada UMA , as seguintes identidades podem ser derivadas (elas são obtidas a partir de dois coeficientes diferentes do produto da matriz, e pode-se facilmente deduzir o segundo do primeiro mudando n em n + 1 ),

Em particular, com m = n ,

Estas duas últimas identidades fornecem uma maneira de calcular os números de Fibonacci recursivamente em O(registro(n)) operações aritméticas e no tempo O(M(n) registro(n)) , Onde M(n) é o tempo para a multiplicação de dois números de n dígitos. Isso corresponde ao tempo para calcular o n o número de Fibonacci da fórmula da matriz de forma fechada, mas com menos etapas redundantes se evitarmos recomputar um número de Fibonacci já calculado (recursão com memoização). [28]

Pode surgir a questão de saber se um número inteiro positivo x é um número de Fibonacci. Isso é verdadeiro se e somente se pelo menos um de 5 x 2 + 4 < displaystyle 5x ^ <2> +4> ou 5 x 2 - 4 < displaystyle 5x ^ <2> -4> for um quadrado perfeito. [29] Isso ocorre porque a fórmula de Binet acima pode ser reorganizada para dar

que permite encontrar a posição na sequência de um determinado número de Fibonacci.

Esta fórmula deve retornar um inteiro para todos n, então a expressão radical deve ser um número inteiro (caso contrário, o logaritmo nem mesmo retorna um número racional).

A maioria das identidades envolvendo números de Fibonacci podem ser provadas usando argumentos combinatórios usando o fato de que Fn pode ser interpretado como o número de sequências de 1s e 2s que somam n - 1. Isso pode ser tomado como a definição de Fn, com a convenção de que F0 = 0, o que significa que nenhuma soma soma -1, e isso F1 = 1, significando que a soma vazia "soma" a 0. Aqui, a ordem da soma é importante. Por exemplo, 1 + 2 e 2 + 1 são considerados duas somas diferentes.

Por exemplo, a relação de recorrência

ou em palavras, o no número de Fibonacci é a soma dos dois números de Fibonacci anteriores, pode ser mostrado dividindo o Fn somas de 1s e 2s que somam n - 1 em dois grupos não sobrepostos. Um grupo contém aquelas somas cujo primeiro termo é 1 e o outro aquelas somas cujo primeiro termo é 2. No primeiro grupo, os termos restantes somam-se n - 2, então tem Fn-1 somas, e no segundo grupo os termos restantes somam n - 3, então há Fn−2 somas. Portanto, há um total de Fn−1 + Fn−2 somas totalmente, mostrando que isso é igual a Fn.

Da mesma forma, pode-se mostrar que a soma dos primeiros números de Fibonacci até o nth é igual ao (n + 2) -º número de Fibonacci menos 1. [30] Em símbolos:

Isso é feito dividindo as somas adicionadas a n + 1 de forma diferente, desta vez pela localização do primeiro 2. Especificamente, o primeiro grupo consiste nas somas que começam com 2, o segundo grupo nas que começam 1 + 2, o terceiro 1 + 1 + 2 e assim por diante, até o último grupo, que consiste na soma única em que apenas 1s são usados. O número de somas no primeiro grupo é F(n), F(n - 1) no segundo grupo, e assim por diante, com 1 soma no último grupo. Portanto, o número total de somas é F(n) + F(n − 1) + . + F(1) + 1 e, portanto, esta quantidade é igual a F(n + 2).

Um argumento semelhante, agrupando as somas pela posição do primeiro 1 em vez dos primeiros 2, fornece mais duas identidades:

Um truque diferente pode ser usado para provar

Método simbólico Editar

Numerosas outras identidades podem ser derivadas usando vários métodos. Algumas das mais notáveis ​​são: [33]

Identidades da Cassini e do Catalão Editar

A identidade da Cassini afirma que

Identidade de d'Ocagne Editar

Colocando k = 2 nesta fórmula, obtém-se novamente as fórmulas do final da seção anterior Formulário de matriz.

A função geradora da sequência de Fibonacci é a série de potências

Isso pode ser provado usando a recorrência de Fibonacci para expandir cada coeficiente na soma infinita:

para s(x) resulta na forma fechada acima.

Configuração x = 1/k , a forma fechada da série torna-se

Em particular, se k for um número inteiro maior que 1, essa série converge. Configuração adicional k = 10 m rendimentos

Alguns livros de quebra-cabeças de matemática apresentam como curioso o valor particular que vem de m = 1, que é s (1/10) 10 = 1 89 = 0,011235… < displaystyle < frac <10>> = < frac <1> <89>> =. 011235 ldots> [35] Da mesma forma, m = 2 dá

As somas infinitas sobre os números de Fibonacci recíprocos às vezes podem ser avaliados em termos de funções teta. Por exemplo, podemos escrever a soma de cada número de Fibonacci recíproco indexado ímpar como

e a soma dos números de Fibonacci recíprocos quadrados como

Se adicionarmos 1 a cada número de Fibonacci na primeira soma, também terá a forma fechada

e há um aninhado soma dos números de Fibonacci ao quadrado dando o recíproco da proporção áurea,

é conhecido, mas o número foi provado irracional por Richard André-Jeannin. [36]

o Série Millin dá a identidade [37]

Propriedades de divisibilidade Editar

Cada terceiro número da sequência é uniforme e, de forma mais geral, cada ko número da sequência é um múltiplo de Fk. Assim, a sequência de Fibonacci é um exemplo de sequência de divisibilidade. Na verdade, a sequência de Fibonacci satisfaz a propriedade de divisibilidade mais forte [38] [39]

Quaisquer três números de Fibonacci consecutivos são coprimes de pares, o que significa que, para cada n,

gcd (Fn, Fn+1) = gcd (Fn, Fn+2) = gcd (Fn+1, Fn+2) = 1.

Cada número primo p divide um número de Fibonacci que pode ser determinado pelo valor de p módulo 5. Se p é congruente com 1 ou 4 (mod 5), então p divide Fp − 1, e se p é congruente com 2 ou 3 (mod 5), então, p divide Fp + 1. O caso restante é que p = 5, e neste caso p divide Fp.

Esses casos podem ser combinados em uma única fórmula sem partes, usando o símbolo de Legendre: [40]

Edição de teste de primazia

A fórmula acima pode ser usada como um teste de primalidade no sentido de que se

Edição de primos de Fibonacci

UMA Fibonacci prime é um número de Fibonacci primo. Os primeiros são:

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597, 28657, 514229,. OEIS: A005478.

Os primos de Fibonacci com milhares de dígitos foram encontrados, mas não se sabe se há infinitos. [42]

Fkn é divisível por Fn, então, além de F4 = 3, qualquer número primo de Fibonacci deve ter um índice primo. Como existem séries arbitrariamente longas de números compostos, há, portanto, também séries arbitrariamente longas de números de Fibonacci compostos.

Nenhum número de Fibonacci maior que F6 = 8 é um maior ou menor que um número primo. [43]

O único número de Fibonacci quadrado não trivial é 144. [44] Attila Pethő provou em 2001 que há apenas um número finito de números de Fibonacci de potência perfeita. [45] Em 2006, Y. Bugeaud, M. Mignotte e S. Siksek provaram que 8 e 144 são os únicos poderes perfeitos não triviais. [46]

1, 3, 21, 55 são os únicos números triangulares de Fibonacci, o que foi conjecturado por Vern Hoggatt e provado por Luo Ming. [47]

Nenhum número de Fibonacci pode ser um número perfeito. [48] ​​De maneira mais geral, nenhum número de Fibonacci diferente de 1 pode ser multiplamente perfeito, [49] e nenhuma proporção de dois números de Fibonacci pode ser perfeita. [50]

Editar divisores principais

Com as exceções de 1, 8 e 144 (F1 = F2, F6 e F12) todo número de Fibonacci tem um fator primo que não é um fator de nenhum número de Fibonacci menor (teorema de Carmichael). [51] Como resultado, 8 e 144 (F6 e F12) são os únicos números de Fibonacci que são produto de outros números de Fibonacci OEIS: A235383.

A divisibilidade dos números de Fibonacci por um primo p está relacionado ao símbolo de Legendre (p 5) < displaystyle left (< tfrac

<5>> right)> que é avaliado da seguinte forma:

Se p é um número primo então

Não se sabe se existe um primo p de tal modo que

Esses primos (se houver) seriam chamados de primos Parede-Sol-Sol.

Também se p ≠ 5 é um número primo ímpar, então: [54]

Exemplo 1. p = 7, neste caso p ≡ 3 (mod 4) e temos:

Exemplo 2. p = 11, neste caso p ≡ 3 (mod 4) e temos:

Exemplo 3. p = 13, neste caso p ≡ 1 (mod 4) e temos:

Exemplo 4. p = 29, neste caso p ≡ 1 (mod 4) e temos:

Para estranho n, todos os divisores primos ímpares de Fn são congruentes a 1 módulo 4, o que implica que todos os divisores ímpares de Fn (como os produtos de divisores primos ímpares) são congruentes a 1 módulo 4. [55]

Todos os fatores conhecidos dos números de Fibonacci F(eu) para todos eu & lt 50000 são coletados nos repositórios relevantes. [56] [57]

Módulo de periodicidade n Editar

Se os membros da sequência de Fibonacci forem usados ​​mod n, a sequência resultante é periódica com período no máximo 6n. [58] A duração dos períodos para vários n formam os chamados períodos Pisano OEIS: A001175. Determinar uma fórmula geral para os períodos Pisano é um problema aberto, que inclui como subproblema uma instância especial do problema de encontrar a ordem multiplicativa de um inteiro modular ou de um elemento em um corpo finito. No entanto, para qualquer n, o período Pisano pode ser encontrado como um exemplo de detecção de ciclo.

Mais geralmente, na base b representação, o número de dígitos em Fn é assintótico a n log b ⁡ φ. < displaystyle n log _ varphi.>

A sequência de Fibonacci é uma das sequências mais simples e mais antigas conhecidas, definida por uma relação de recorrência e, especificamente, por uma equação de diferença linear. Todas essas sequências podem ser vistas como generalizações da sequência de Fibonacci. Em particular, a fórmula de Binet pode ser generalizada para qualquer sequência que seja uma solução de uma equação de diferença linear homogênea com coeficientes constantes.

Alguns exemplos específicos que estão próximos, em certo sentido, da sequência de Fibonacci incluem:

  • Generalizando o índice para inteiros negativos para produzir os números negafibonacci.
  • Generalizar o índice para números reais usando uma modificação da fórmula de Binet. [33]
  • Começando com outros inteiros. Números de Lucas têm eu1 = 1, eu2 = 3, e eun = eun−1 + eun−2. As sequências Primefree usam a recursão de Fibonacci com outros pontos de partida para gerar sequências nas quais todos os números são compostos.
  • Supondo que um número seja uma função linear (diferente da soma) dos 2 números anteriores. Os números Pell têm Pn = 2Pn − 1 + Pn − 2. Se o coeficiente do valor anterior for atribuído a um valor variável x, o resultado é a sequência de polinômios de Fibonacci.
  • Não adicionar os números imediatamente anteriores. A sequência de Padovan e os números de Perrin têm P(n) = P(n − 2) + P(n − 3).
  • Gerar o próximo número adicionando 3 números (números tribonacci), 4 números (números tetranacci) ou mais. As sequências resultantes são conhecidas como Números de Fibonacci n-Step. [59]

Os números de Fibonacci ocorrem na soma das diagonais "rasas" no triângulo de Pascal (ver coeficiente binomial): [60]

Edição de Matemática

Esses números também fornecem a solução para certos problemas enumerativos, [61] o mais comum dos quais é o de contar o número de maneiras de escrever um determinado número. n como uma soma ordenada de 1s e 2s (chamadas composições), existem Fn+1 maneiras de fazer isso. Por exemplo, existem F5+1 = F6 = 8 maneiras em que se pode subir uma escada de 5 degraus, dando um ou dois degraus de cada vez:

5 = 1+1+1+1+1 = 2+1+1+1 = 1+2+1+1 = 1+1+2+1 = 2+2+1
= 1+1+1+2 = 2+1+2 = 1+2+2

A figura mostra que 8 pode ser decomposto em 5 (o número de maneiras de subir 4 degraus, seguido de uma única etapa) mais 3 (o número de maneiras de subir 3 degraus, seguido de uma etapa dupla). O mesmo raciocínio é aplicado recursivamente até uma única etapa, da qual só há uma forma de subir.

Os números de Fibonacci podem ser encontrados de diferentes maneiras entre o conjunto de strings binárias ou, de forma equivalente, entre os subconjuntos de um determinado conjunto.

  • O número de strings binárias de comprimento n sem 1 s consecutivo é o número de Fibonacci Fn+2 . Por exemplo, das 16 sequências binárias de comprimento 4, existem F6 = 8 sem 1 s consecutivo - eles são 0000, 0001, 0010, 0100, 0101, 1000, 1001 e 1010. Equivalentemente, Fn+2 é o número de subconjuntos S de <1,. n> sem inteiros consecutivos, ou seja, aqueles S para o qual <eu, eu + 1> ⊈ S para cada eu .
  • O número de strings binárias de comprimento n sem um número ímpar de 1 s consecutivo é o número de Fibonacci Fn + 1 . Por exemplo, das 16 sequências binárias de comprimento 4, existem F5 = 5 sem um número ímpar de 1 s consecutivos - eles são 0000, 0011, 0110, 1100, 1111. Equivalentemente, o número de subconjuntos S de <1,. n> sem um número ímpar de inteiros consecutivos é Fn+1 .
  • O número de strings binárias de comprimento n sem um número par de 0 s consecutivos ou 1 s é 2Fn . Por exemplo, das 16 sequências binárias de comprimento 4, há 2F4 = 6 sem um número par de 0 s ou 1 s consecutivos - eles são 0001, 0111, 0101, 1000, 1010, 1110. Há uma declaração equivalente sobre subconjuntos. foi capaz de mostrar que os números de Fibonacci podem ser definidos por uma equação diofantina, que o levou a resolver o décimo problema deHilbert. [62]
  • Os números de Fibonacci também são um exemplo de uma seqüência completa. Isso significa que todo número inteiro positivo pode ser escrito como uma soma de números de Fibonacci, onde qualquer número é usado uma vez no máximo.
  • Além disso, todo número inteiro positivo pode ser escrito de uma maneira única como a soma de um ou mais números de Fibonacci distintos, de forma que a soma não inclua dois números de Fibonacci consecutivos. Isso é conhecido como teorema de Zeckendorf, e uma soma dos números de Fibonacci que satisfaz essas condições é chamada de representação de Zeckendorf. A representação Zeckendorf de um número pode ser usada para derivar sua codificação de Fibonacci.
  • A partir de 5, cada segundo número de Fibonacci é o comprimento da hipotenusa de um triângulo retângulo com lados inteiros, ou seja, o maior número em um triplo pitagórico, obtido a partir da fórmula

Ciência da computação Editar

  • Os números de Fibonacci são importantes na análise de tempo de execução computacional do algoritmo de Euclides para determinar o maior divisor comum de dois inteiros: a entrada de pior caso para este algoritmo é um par de números de Fibonacci consecutivos. [65]
  • Os números de Fibonacci são usados ​​em uma versão polifásica do algoritmo de classificação por mesclagem em que uma lista não classificada é dividida em duas listas cujos comprimentos correspondem aos números de Fibonacci sequenciais - dividindo a lista de modo que as duas partes tenham comprimentos na proporção aproximada φ. Uma implementação de unidade de fita da classificação de mesclagem polifásica foi descrita em A Arte da Programação de Computador.
  • Uma árvore Fibonacci é uma árvore binária cujas árvores filhas (recursivamente) diferem em altura por exatamente 1. Portanto, é uma árvore AVL, e uma com o menor número de nós para uma determinada altura - a árvore AVL "mais fina". Essas árvores possuem um número de vértices que é um número de Fibonacci menos um, um fato importante na análise de árvores AVL. [66]
  • Os números de Fibonacci são usados ​​por alguns geradores de números pseudo-aleatórios.
  • Os números de Fibonacci surgem na análise da estrutura de dados do heap de Fibonacci.
  • Um método de otimização unidimensional, chamado de técnica de pesquisa de Fibonacci, usa números de Fibonacci. [67]
  • A série de números de Fibonacci é usada para compactação opcional com perdas no formato de arquivo de áudio IFF8SVX usado em computadores Amiga. A série numérica compara a onda de áudio original de maneira semelhante aos métodos logarítmicos, como a lei μ. [68] [69]
  • Eles também são usados ​​no planejamento de pôquer, que é uma etapa da estimativa em projetos de desenvolvimento de software que usam a metodologia Scrum.

Nature Edit

Seqüências de Fibonacci aparecem em configurações biológicas, [70] como ramificação em árvores, arranjo de folhas em um caule, os frutos de um abacaxi, [71] o florescimento de alcachofra, uma samambaia que não se enrola e o arranjo de uma pinha, [72] ] e a árvore genealógica das abelhas. [73] [74] Kepler apontou a presença da sequência de Fibonacci na natureza, usando-a para explicar a forma pentagonal (relacionada à proporção áurea) de algumas flores. [75] As margaridas do campo geralmente têm pétalas na contagem do número de Fibonacci. [76] Em 1754, Charles Bonnet descobriu que a filotaxia espiral das plantas era frequentemente expressa em séries de números de Fibonacci. [77]

Przemysław Prusinkiewicz apresentou a ideia de que instâncias reais podem ser entendidas em parte como a expressão de certas restrições algébricas em grupos livres, especificamente como certas gramáticas de Lindenmayer. [78]

Um modelo para o padrão de florzinhas na cabeça de um girassol foi proposto por Helmut Vogel [de] em 1979. [79] Este tem a forma

Onde n é o número índice da florzinha e c é um fator de escala constante, portanto, as florzinhas estão na espiral de Fermat. O ângulo de divergência, aproximadamente 137,51 °, é o ângulo dourado, dividindo o círculo na proporção áurea. Como essa proporção é irracional, nenhuma florzinha tem um vizinho exatamente no mesmo ângulo do centro, portanto, as florzinhas se compactam com eficiência. Porque as aproximações racionais para a proporção áurea são da forma F(j):F(j + 1), os vizinhos mais próximos do florete número n são aqueles em n ± F(j) para algum índice j , que depende de r , a distância do centro. Girassóis e flores semelhantes geralmente têm espirais de florzinhas nas direções horária e anti-horária na quantidade de números de Fibonacci adjacentes, [80] normalmente contados pela faixa mais externa de raios. [81]

Os números de Fibonacci também aparecem nos pedigrees das abelhas idealizadas, de acordo com as seguintes regras:

  • Se um ovo é posto por uma fêmea não acasalada, ele choca um macho ou uma abelha zangão.
  • Se, no entanto, um ovo foi fertilizado por um macho, chocou uma fêmea.

Assim, uma abelha macho sempre tem um progenitor e uma abelha fêmea dois. Se rastrearmos o pedigree de qualquer abelha macho (1 abelha), ela terá 1 progenitor (1 abelha), 2 avós, 3 bisavós, 5 tataravós e assim por diante. Essa sequência de números de pais é a sequência de Fibonacci. O número de ancestrais em cada nível, Fn , é o número de ancestrais femininos, que é Fn−1 , mais o número de ancestrais masculinos, que é Fn−2 . [82] Isso é feito sob a suposição irreal de que os ancestrais em cada nível não são relacionados de outra forma.

As vias das tubulinas nos microtúbulos intracelulares se organizam em padrões de 3, 5, 8 e 13. [84]


Zusammenfassung

Em Aufzeichnungen, die Newton lieber nicht der Veröffentlichung preisgegeben hätte, beschreibt er den Prozess für die Lösung von simultanen Gleichungen, den spätere Autoren speziell für lineare Gleichungen anwandten. Diese Methode - welche Euler nicht empfahl, welche Legendre “ordinaire” nannte, und welche Gauß “gewöhnlich” nannte - wird nun nach Gauß benannt: Gaußsches Eliminationsverfahren. Die Verbindung des Gaußschen Namens mit Elimination wurde dadurch hervorgebracht, dass professionelle Rechner eine Notation übernahmen, die Gauß speziell für seine eigenen Berechnungen der kleinsten Quadrate ersonnen hatte, welche zuließ, das Elimination alsieden huließen hervorgebracht wurden und schließlich durch Matrizen beschrieben wurden.


Conteúdo

Origens pitagóricas Editar

A equação pitagórica, x 2 + y 2 = z 2, tem um número infinito de soluções inteiras positivas para x, y, e z essas soluções são conhecidas como triplas pitagóricas (com o exemplo mais simples 3,4,5). Por volta de 1637, Fermat escreveu à margem de um livro que a equação mais geral uma n + b n = c n não tinha soluções em inteiros positivos se n é um número inteiro maior que 2. Embora ele afirmasse ter uma prova geral de sua conjectura, Fermat não deixou detalhes de sua prova, e nenhuma prova sua jamais foi encontrada. Sua reclamação foi descoberta cerca de 30 anos depois, após sua morte. Esta afirmação, que veio a ser conhecida como Último Teorema de Fermat, permaneceu sem solução pelos próximos três séculos e meio. [4]

A afirmação acabou se tornando um dos problemas não resolvidos mais notáveis ​​da matemática. As tentativas de provar isso levaram a um desenvolvimento substancial na teoria dos números e, com o tempo, o Último Teorema de Fermat ganhou destaque como um problema não resolvido em matemática.

Desenvolvimentos subsequentes e solução Editar

O caso especial n = 4, provado pelo próprio Fermat, é suficiente para estabelecer que se o teorema é falso para algum expoente n aquele não é um número primo, também deve ser falso para alguns menores n, portanto, apenas os valores principais de n precisam de mais investigação. [nota 1] Durante os próximos dois séculos (1637-1839), a conjectura foi provada apenas para os primos 3, 5 e 7, embora Sophie Germain tenha inovado e provado uma abordagem que era relevante para uma classe inteira de primos. Em meados do século 19, Ernst Kummer estendeu isso e provou o teorema para todos os primos regulares, deixando os primos irregulares para serem analisados ​​individualmente. Com base no trabalho de Kummer e usando estudos de computador sofisticados, outros matemáticos foram capazes de estender a prova para cobrir todos os expoentes primos em até quatro milhões, mas uma prova para todos os expoentes era inacessível (o que significa que os matemáticos geralmente consideravam uma prova impossível, extremamente difícil ou inatingível com o conhecimento atual). [5]

Separadamente, por volta de 1955, os matemáticos japoneses Goro Shimura e Yutaka Taniyama suspeitaram que uma ligação poderia existir entre curvas elípticas e formas modulares, duas áreas completamente diferentes da matemática. Conhecida na época como conjectura de Taniyama – Shimura (eventualmente como o teorema da modularidade), ela se manteve por conta própria, sem nenhuma conexão aparente com o Último Teorema de Fermat. Foi amplamente visto como significativo e importante por si só, mas foi (como o teorema de Fermat) amplamente considerado completamente inacessível à prova. [6]

Em 1984, Gerhard Frey percebeu uma ligação aparente entre esses dois problemas anteriormente não relacionados e não resolvidos. Um esboço sugerindo que isso poderia ser provado foi fornecido por Frey. A prova completa de que os dois problemas estavam intimamente ligados foi realizada em 1986 por Ken Ribet, com base em uma prova parcial de Jean-Pierre Serre, que provou tudo, exceto uma parte conhecida como a "conjectura épsilon" (ver: Teorema de Ribet e Curva Frey) [2] Esses artigos de Frey, Serre e Ribet mostraram que se a conjectura de Taniyama-Shimura pudesse ser provada para pelo menos a classe semi-estável de curvas elípticas, uma prova do Último Teorema de Fermat também seguiria automaticamente. A conexão é descrita abaixo: qualquer solução que pudesse contradizer o Último Teorema de Fermat também poderia ser usada para contradizer a conjectura de Taniyama-Shimura. Portanto, se o teorema da modularidade fosse considerado verdadeiro, então, por definição, nenhuma solução que contradisse o Último Teorema de Fermat poderia existir, o que, portanto, também teria de ser verdadeiro.

Embora ambos os problemas fossem assustadores e amplamente considerados "completamente inacessíveis" à prova na época, [2] esta foi a primeira sugestão de uma rota pela qual o Último Teorema de Fermat poderia ser estendido e provado para todos os números, não apenas alguns números. Ao contrário do Último Teorema de Fermat, a conjectura de Taniyama-Shimura foi uma área de pesquisa ativa importante e vista como mais ao alcance da matemática contemporânea. [7] No entanto, a opinião geral era de que isso simplesmente mostrava a impraticabilidade de provar a conjectura de Taniyama-Shimura. [8] A reação citada do matemático John Coates foi comum: [8]

"Eu mesmo estava muito cético de que a bela ligação entre o Último Teorema de Fermat e a conjectura de Taniyama-Shimura realmente levasse a qualquer coisa, porque devo confessar que não pensei que a conjectura de Taniyama-Shimura fosse acessível à prova. Por mais lindo que esse problema fosse , parecia impossível de realmente provar. Devo confessar que pensei que provavelmente não veria isso provado em minha vida. "

Ao ouvir que Ribet havia provado que a ligação de Frey estava correta, o matemático inglês Andrew Wiles, que tinha uma fascinação infantil pelo Último Teorema de Fermat e tinha experiência em trabalhar com curvas elípticas e campos relacionados, decidiu tentar provar a conjectura de Taniyama-Shimura como uma maneira de provar o Último Teorema de Fermat. Em 1993, após seis anos trabalhando secretamente no problema, Wiles conseguiu provar o suficiente da conjectura para provar o Último Teorema de Fermat. O artigo de Wiles era enorme em tamanho e escopo. Uma falha foi descoberta em uma parte de seu artigo original durante a revisão por pares e exigiu mais um ano e a colaboração de um aluno anterior, Richard Taylor, para resolvê-la. Como resultado, a prova final em 1995 foi acompanhada por um documento conjunto menor mostrando que as etapas fixas eram válidas. A conquista de Wiles foi amplamente divulgada na imprensa popular e popularizada em livros e programas de televisão. As partes restantes da conjectura de Taniyama-Shimura-Weil, agora comprovada e conhecida como teorema da modularidade, foram posteriormente provadas por outros matemáticos, que desenvolveram o trabalho de Wiles entre 1996 e 2001. [9] [10] [11] Para sua prova , Wiles foi homenageado e recebeu vários prêmios, incluindo o Prêmio Abel 2016. [12] [13] [14]

Declarações equivalentes do teorema Editar

Existem várias maneiras alternativas de estabelecer o Último Teorema de Fermat que são matematicamente equivalentes à afirmação original do problema.

Para expressá-los, usamos notação matemática: deixe N seja o conjunto de números naturais 1, 2, 3,. deixar Z seja o conjunto de inteiros 0, ± 1, ± 2,. e deixar Q seja o conjunto de números racionais uma/b , onde a e b estão em Z com b ≠ 0. A seguir, chamaremos uma solução para x n + y n = z n onde um ou mais de x, y ou z é zero a solução trivial. Uma solução onde todos os três são diferentes de zero será chamada de não trivial solução.

Para efeito de comparação, começamos com a formulação original.

  • Declaração original. Com n, x, y, z ∈ N (significa que n, x, y, z são todos números inteiros positivos) e n & gt 2, a equação xn + yn = zn não tem soluções.

Os tratamentos mais populares sobre o assunto afirmam isso dessa forma. Também é comumente afirmado sobre Z : [15]

  • Declaração equivalente 1:xn + yn = zn , onde o inteiro n ≥ 3, não tem soluções não triviais x, y, z ∈ Z .

A equivalência é clara se n for par. Se n for ímpar e todos os três x, y, z são negativos, então podemos substituir x, y, z com -x, −y, −z para obter uma solução em N . Se dois deles forem negativos, deve ser x e z ou y e z. Se x, z são negativos ey é positivo, então podemos reorganizar para obter (-z) n + y n = (−x) n resultando em uma solução em N o outro caso é tratado de forma análoga. Agora, se apenas um for negativo, deve ser x ou y. Se x for negativo ey e z forem positivos, então ele pode ser reorganizado para obter (-x) n + z n = y n novamente resultando em uma solução em N se y for negativo, o resultado segue simetricamente. Assim, em todos os casos, uma solução não trivial em Z também significaria que existe uma solução em N , a formulação original do problema.

  • Declaração equivalente 2:xn + yn = zn , onde o inteiro n ≥ 3, não tem soluções não triviais x, y, z ∈ Q .

Isso ocorre porque o expoente de x, y, e z são iguais (an), então, se houver uma solução em Q , então ele pode ser multiplicado por um denominador comum apropriado para obter uma solução em Z e, portanto, em N .

  • Declaração equivalente 3:xn + yn = 1, onde o inteiro n ≥ 3, não tem soluções não triviais x, y ∈ Q .

Uma solução não trivial a, b, c ∈ Z para x n + y n = z n produz a solução não trivial uma/c , b/cQ para v n + C n = 1. Por outro lado, uma solução uma/b , c/dQ para v n + C n = 1 produz a solução não trivial de Anúncios, cb, bd para x n + y n = z n .

Esta última formulação é particularmente proveitosa, porque reduz o problema de um problema de superfícies em três dimensões a um problema de curvas em duas dimensões. Além disso, permite trabalhar no campo Q , ao invés do ringue Z os campos exibem mais estrutura do que os anéis, o que permite uma análise mais profunda de seus elementos.

  • Declaração equivalente 4 - conexão com curvas elípticas: Se a, b, c é uma solução não trivial para xp + yp = zp , p primo ímpar, então y2 = x(xumap )(x + bp ) (Curva de Frey) será uma curva elíptica. [16]

O exame dessa curva elíptica com o teorema de Ribet mostra que ela não tem uma forma modular. No entanto, a prova de Andrew Wiles prova que qualquer equação da forma y 2 = x(xuma n )(x + b n ) tem uma forma modular. Qualquer solução não trivial para x p + y p = z p (com p um primo ímpar), portanto, criaria uma contradição, o que por sua vez prova que não existem soluções não triviais. [17]

Em outras palavras, qualquer solução que pudesse contradizer o Último Teorema de Fermat também poderia ser usada para contradizer o Teorema da Modularidade. Portanto, se o teorema da modularidade fosse considerado verdadeiro, seguir-se-ia que também não poderia existir nenhuma contradição com o Último Teorema de Fermat. Conforme descrito acima, a descoberta dessa afirmação equivalente foi crucial para a solução final do Último Teorema de Fermat, pois fornecia um meio pelo qual poderia ser "atacado" para todos os números de uma vez.

Pitágoras e Diofanto Editar

Triplos pitagóricos Editar

Antigamente, sabia-se que um triângulo cujos lados estivessem na proporção 3: 4: 5 teria um ângulo reto como um de seus ângulos. Isso foi usado na construção e mais tarde no início da geometria. Também era conhecido por ser um exemplo de regra geral que qualquer triângulo em que o comprimento de dois lados, cada um ao quadrado e depois somados (3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25), é igual ao quadrado do comprimento do terceiro lado (5 2 = 25), também seria um triângulo retângulo. Isso agora é conhecido como teorema de Pitágoras, e um triplo de números que atende a essa condição é chamado de triplo pitagórico - ambos são nomeados em homenagem ao antigo grego Pitágoras. Os exemplos incluem (3, 4, 5) e (5, 12, 13). Existem infinitamente muitos desses triplos, [18] e os métodos para gerar esses triplos foram estudados em muitas culturas, começando com os babilônios [19] e, posteriormente, com matemáticos da Grécia antiga, chineses e indianos. [1] Matematicamente, a definição de um triplo pitagórico é um conjunto de três inteiros (uma, b, c) que satisfazem a equação [20] a 2 + b 2 = c 2. < displaystyle a ^ <2> + b ^ <2> = c ^ <2>.>

Editar equações diofantinas

Equação de Fermat, x n + y n = z n com soluções inteiras positivas, é um exemplo de equação diofantina, [21] em homenagem ao matemático alexandrino do século 3, Diofanto, que as estudou e desenvolveu métodos para a solução de alguns tipos de equações diofantinas. Um problema diofantino típico é encontrar dois inteiros x e y de modo que sua soma e a soma de seus quadrados são iguais a dois números dados UMA e B, respectivamente:

O principal trabalho de Diofanto é o Aritmética, da qual apenas uma parte sobreviveu. [22] A conjectura de Fermat sobre seu Último Teorema foi inspirada durante a leitura de uma nova edição do Aritmética, [23] que foi traduzido para o latim e publicado em 1621 por Claude Bachet. [24]

As equações diofantinas têm sido estudadas há milhares de anos. Por exemplo, as soluções para a equação diofantina quadrática x 2 + y 2 = z 2 são dados pelos triplos pitagóricos, originalmente resolvidos pelos babilônios (c. 1800 aC). [25] Soluções para equações diofantinas lineares, como 26x + 65y = 13, pode ser encontrado usando o algoritmo euclidiano (c. Século V aC). [26] Muitas equações diofantinas têm uma forma semelhante à equação do Último Teorema de Fermat do ponto de vista da álgebra, em que não têm termos cruzados misturar duas letras, sem compartilhar suas propriedades particulares. Por exemplo, sabe-se que existem infinitos números inteiros positivos x, y, e z de tal modo que x n + y n = z m Onde n e m são números naturais relativamente primos. [nota 2]

Conjectura de Fermat Editar

Problema II.8 do Aritmética pergunta como um dado número quadrado é dividido em dois outros quadrados, em outras palavras, para um dado número racional k, encontre números racionais você e v de tal modo que k 2 = você 2 + v 2 Diofanto mostra como resolver este problema de soma dos quadrados para k = 4 (as soluções sendo você = 16/5 e v = 12/5). [27]

Por volta de 1637, Fermat escreveu seu Último Teorema na margem de sua cópia do Aritmética próximo ao problema da soma dos quadrados de Diofanto: [28]

Cubum autem em duos cubos, aut quadratoquadratum em duos quadratoquadratos e amp generaliter nullam em infinitum ultra quadratum potestatem em duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. É impossível separar um cubo em dois cubos, ou uma quarta potência em duas quartas potências ou, em geral, qualquer potência superior à segunda, em duas potências semelhantes.Descobri uma prova verdadeiramente maravilhosa disso, que esta margem é estreita demais para conter. [29] [30]

Após a morte de Fermat em 1665, seu filho Clément-Samuel Fermat produziu uma nova edição do livro (1670) aumentada com os comentários de seu pai. [31] Embora não seja realmente um teorema na época (significando uma declaração matemática para a qual existe prova), a nota de margem tornou-se conhecida ao longo do tempo como Último Teorema de Fermat, [32] já que foi o último dos teoremas afirmados de Fermat a permanecer sem comprovação. [33]

Não se sabe se Fermat realmente encontrou uma prova válida para todos os expoentes n, mas parece improvável. Apenas uma prova relacionada por ele sobreviveu, ou seja, para o caso n = 4, conforme descrito na seção Provas para expoentes específicos. Enquanto Fermat apresentou os casos de n = 4 e de n = 3 como desafios para seus correspondentes matemáticos, como Marin Mersenne, Blaise Pascal e John Wallis, [34] ele nunca apresentou o caso geral. [35] Além disso, nos últimos trinta anos de sua vida, Fermat nunca mais escreveu sobre sua "prova verdadeiramente maravilhosa" do caso geral, e nunca a publicou. Van der Poorten [36] sugere que enquanto a ausência de uma prova é insignificante, a falta de desafios significa que Fermat percebeu que ele não tinha uma prova que ele cita Weil [37], dizendo que Fermat deve ter se iludido brevemente com uma ideia irrecuperável.

As técnicas que Fermat pode ter usado em tal "prova maravilhosa" são desconhecidas.

A prova de Taylor e Wiles baseia-se em técnicas do século XX. [38] A prova de Fermat teria que ser elementar em comparação, dado o conhecimento matemático de sua época.

Enquanto a grande conjectura de Harvey Friedman implica que qualquer teorema demonstrável (incluindo o último teorema de Fermat) pode ser provado usando apenas 'aritmética de função elementar', tal prova precisa ser 'elementar' apenas em um sentido técnico e pode envolver milhões de etapas, e assim ser muito tempo para ter sido a prova de Fermat.

Provas para expoentes específicos Editar

Expoente = 4 Editar

Apenas uma prova relevante de Fermat sobreviveu, na qual ele usa a técnica da descida infinita para mostrar que a área de um triângulo retângulo com lados inteiros nunca pode ser igual ao quadrado de um inteiro. [39] [40] Sua prova é equivalente a demonstrar que a equação

não tem soluções primitivas em inteiros (sem soluções coprime de pares). Por sua vez, isso prova o Último Teorema de Fermat para o caso n = 4, já que a equação uma 4 + b 4 = c 4 pode ser escrito como c 4 − b 4 = (uma 2 ) 2 .

Provas alternativas do caso n = 4 foram desenvolvidos posteriormente [41] por Frénicle de Bessy (1676), [42] Leonhard Euler (1738), [43] Kausler (1802), [44] Peter Barlow (1811), [45] Adrien-Marie Legendre ( 1830), [46] Schopis (1825), [47] Olry Terquem (1846), [48] Joseph Bertrand (1851), [49] Victor Lebesgue (1853, 1859, 1862), [50] Théophile Pépin (1883) , [51] Tafelmacher (1893), [52] David Hilbert (1897), [53] Bendz (1901), [54] Gambioli (1901), [55] Leopold Kronecker (1901), [56] Bang (1905) , [57] Sommer (1907), [58] Bottari (1908), [59] Karel Rychlík (1910), [60] Nutzhorn (1912), [61] Robert Carmichael (1913), [62] Hancock (1931) , [63] Gheorghe Vrănceanu (1966), [64] Grant e Perella (1999), [65] Barbara (2007), [66] e Dolan (2011). [67]

Outros expoentes Editar

Depois que Fermat provou o caso especial n = 4, a prova geral para todos n exigia apenas que o teorema fosse estabelecido para todos os expoentes primos ímpares. [68] Em outras palavras, era necessário provar apenas que a equação uma n + b n = c n não tem soluções de número inteiro positivo (uma, b, c) quando n é um número primo ímpar. Isso ocorre porque uma solução (uma, b, c) para um dado n é equivalente a uma solução para todos os fatores de n. Para ilustração, vamos n ser fatorado em d e e, n = de. A equação geral

uma n + b n = c n

implica que (uma d , b d , c d ) é uma solução para o expoente e

(uma d ) e + (b d ) e = (c d ) e .

Assim, para provar que a equação de Fermat não tem soluções para n & gt 2, seria suficiente provar que não há soluções para pelo menos um fator primo de cada n. Cada inteiro n & gt 2 é divisível por 4 ou por um número primo ímpar (ou ambos). Portanto, o último teorema de Fermat pode ser provado para todos n se pudesse ser provado por n = 4 e para todos os primos ímpares p.

Nos dois séculos que se seguiram à sua conjectura (1637-1839), o Último Teorema de Fermat foi provado para três expoentes primos ímpares p = 3, 5 e 7. O caso p = 3 foi declarado pela primeira vez por Abu-Mahmud Khojandi (século 10), mas sua tentativa de prova do teorema estava incorreta. [69] Em 1770, Leonhard Euler deu uma prova de p = 3, [70] mas sua prova por descida infinita [71] continha uma lacuna importante. [72] No entanto, uma vez que o próprio Euler provou o lema necessário para completar a prova em outro trabalho, ele geralmente é creditado com a primeira prova. [73] Provas independentes foram publicadas [74] por Kausler (1802), [44] Legendre (1823, 1830), [46] [75] Calzolari (1855), [76] Gabriel Lamé (1865), [77] Peter Guthrie Tait (1872), [78] Günther (1878), [79] [ citação completa necessária ] Gambioli (1901), [55] Krey (1909), [80] [ citação completa necessária ] Rychlík (1910), [60] Stockhaus (1910), [81] Carmichael (1915), [82] Johannes van der Corput (1915), [83] Axel Thue (1917), [84] [ citação completa necessária ] e Duarte (1944). [85]

O caso p = 5 foi provado [86] independentemente por Legendre e Peter Gustav Lejeune Dirichlet por volta de 1825. [87] Provas alternativas foram desenvolvidas [88] por Carl Friedrich Gauss (1875, póstumo), [89] Lebesgue (1843), [90] Lamé (1847), [91] Gambioli (1901), [55] [92] Werebrusow (1905), [93] [ citação completa necessária ] Rychlík (1910), [94] [ duvidoso - discutir ] [ citação completa necessária ] van der Corput (1915), [83] e Guy Terjanian (1987). [95]

O caso p = 7 foi provado [96] por Lamé em 1839. [97] Sua prova bastante complicada foi simplificada em 1840 por Lebesgue, [98] e provas ainda mais simples [99] foram publicadas por Angelo Genocchi em 1864, 1874 e 1876. [100 ] Provas alternativas foram desenvolvidas por Théophile Pépin (1876) [101] e Edmond Maillet (1897). [102]

O Último Teorema de Fermat também foi provado para os expoentes n = 6, 10 e 14. Provas para n = 6 foram publicados por Kausler, [44] Thue, [103] Tafelmacher, [104] Lind, [105] Kapferer, [106] Swift, [107] e Breusch. [108] Da mesma forma, Dirichlet [109] e Terjanian [110] cada um provou o caso n = 14, enquanto Kapferer [106] e Breusch [108] cada um provou o caso n = 10. A rigor, essas provas são desnecessárias, uma vez que esses casos decorrem das provas para n = 3, 5 e 7, respectivamente. No entanto, o raciocínio dessas provas de expoentes pares difere de suas contrapartes de expoentes ímpares. A prova de Dirichlet para n = 14 foi publicado em 1832, antes da prova de Lamé de 1839 para n = 7. [111]

Todas as provas para expoentes específicos usaram a técnica de descida infinita de Fermat, [ citação necessária ] quer na sua forma original, quer na forma de descida em curvas elípticas ou variedades abelianas. Os detalhes e argumentos auxiliares, no entanto, eram frequentemente Ad hoc e vinculado ao expoente individual em consideração. [112] Desde que eles se tornaram cada vez mais complicados como p aumentado, parecia improvável que o caso geral do Último Teorema de Fermat pudesse ser provado com base nas provas para expoentes individuais. [112] Embora alguns resultados gerais sobre o Último Teorema de Fermat tenham sido publicados no início do século 19 por Niels Henrik Abel e Peter Barlow, [113] [114] o primeiro trabalho significativo sobre o teorema geral foi feito por Sophie Germain. [115]

Primeiras descobertas modernas Editar

Sophie Germain Editar

Ernst Kummer e a teoria dos ideais Editar

Em 1847, Gabriel Lamé esboçou uma prova do Último Teorema de Fermat com base na fatoração da equação x p + y p = z p em números complexos, especificamente o campo ciclotômico baseado nas raízes do número 1. Sua prova falhou, entretanto, porque assumiu incorretamente que tais números complexos podem ser fatorados exclusivamente em primos, semelhantes a inteiros. Essa lacuna foi apontada imediatamente por Joseph Liouville, que mais tarde leu um artigo que demonstrou essa falha de fatoração única, escrito por Ernst Kummer.

Kummer se propôs a determinar se o campo ciclotômico poderia ser generalizado para incluir novos números primos de forma que a fatoração única fosse restaurada. Ele teve sucesso nessa tarefa desenvolvendo os números ideais.

(Nota: costuma-se dizer que Kummer foi levado a seus "números complexos ideais" por seu interesse no Último Teorema de Fermat; há até uma história frequentemente contada de que Kummer, como Lamé, acreditava ter provado o Último Teorema de Fermat até que Lejeune Dirichlet lhe disse seu argumento baseou-se na fatoração única, mas a história foi contada pela primeira vez por Kurt Hensel em 1910 e as evidências indicam que provavelmente deriva de uma confusão por uma das fontes de Hensel. Harold Edwards diz que a crença de que Kummer estava principalmente interessado no Último Teorema de Fermat "é certamente errados ". [120] Veja a história dos números ideais.)

Usando a abordagem geral delineada por Lamé, Kummer provou ambos os casos do Último Teorema de Fermat para todos os números primos regulares. No entanto, ele não conseguiu provar o teorema para os primos excepcionais (primos irregulares) que conjecturalmente ocorrem aproximadamente 39% das vezes. Os únicos primos irregulares abaixo de 270 são 37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257 e 263.

Edição de conjectura de Mordell

Na década de 1920, Louis Mordell propôs uma conjectura que implicava que a equação de Fermat tem no máximo um número finito de soluções inteiras primitivas não triviais, se o expoente n é maior que dois. [121] Esta conjectura foi provada em 1983 por Gerd Faltings, [122] e agora é conhecida como teorema de Faltings.

Estudos computacionais Editar

Na segunda metade do século 20, métodos computacionais foram usados ​​para estender a abordagem de Kummer aos primos irregulares. Em 1954, Harry Vandiver usou um computador SWAC para provar o Último Teorema de Fermat para todos os primos até 2521. [123] Em 1978, Samuel Wagstaff tinha estendido isso para todos os primos menos de 125.000. [124] Em 1993, o Último Teorema de Fermat foi provado para todos os primos com menos de quatro milhões. [125]

No entanto, apesar desses esforços e seus resultados, não existia nenhuma prova do Último Teorema de Fermat. Provas de expoentes individuais por sua natureza nunca poderiam provar o em geral caso: mesmo se todos os expoentes foram verificados até um número extremamente grande X, um expoente maior além de X ainda pode existir para o qual a afirmação não era verdadeira. (Este foi o caso com algumas outras conjecturas anteriores, e não poderia ser descartado nesta conjectura.) [126]

Conexão com curvas elípticas Editar

A estratégia que levou a uma prova bem-sucedida do Último Teorema de Fermat surgiu da conjectura "surpreendente" [127]: 211 Taniyama – Shimura – Weil, proposta por volta de 1955 - que muitos matemáticos acreditavam que seria quase impossível de provar, [127] : 223 e foi associado na década de 1980 por Gerhard Frey, Jean-Pierre Serre e Ken Ribet à equação de Fermat. Ao realizar uma prova parcial dessa conjectura em 1994, Andrew Wiles finalmente conseguiu provar o Último Teorema de Fermat, bem como abrir caminho para uma prova completa por outros do que agora é conhecido como teorema da modularidade.

Conjectura de Taniyama – Shimura – Weil Editar

Por volta de 1955, os matemáticos japoneses Goro Shimura e Yutaka Taniyama observaram uma possível ligação entre dois ramos aparentemente completamente distintos da matemática, curvas elípticas e formas modulares. O teorema da modularidade resultante (na época conhecido como conjectura de Taniyama – Shimura) afirma que toda curva elíptica é modular, o que significa que pode ser associada a uma forma modular única.

O link foi inicialmente descartado como improvável ou altamente especulativo, mas foi levado mais a sério quando o teórico dos números André Weil encontrou evidências que o apoiam, embora não o prove. Como resultado, a conjectura era frequentemente conhecida como conjectura de Taniyama – Shimura – Weil. [127]: 211-215

Mesmo depois de receber atenção séria, a conjectura foi vista pelos matemáticos contemporâneos como extraordinariamente difícil ou talvez inacessível à prova. [127]: 203–205, 223, 226 Por exemplo, o orientador de doutorado de Wiles, John Coates, afirma que parecia "impossível de realmente provar", [127]: 226 e Ken Ribet se considerava "um da vasta maioria das pessoas que acreditavam [era] completamente inacessível ", acrescentando que" Andrew Wiles foi provavelmente uma das poucas pessoas na terra que teve a audácia de sonhar que você realmente pode ir e provar [isso]. " [127]: 223

Teorema de Ribet para curvas de Frey Editar

Em 1984, Gerhard Frey observou uma ligação entre a equação de Fermat e o teorema da modularidade, então ainda uma conjectura. Se a equação de Fermat tivesse alguma solução (uma, b, c) para expoente p & gt 2, então poderia ser mostrado que a curva elíptica semi-estável (agora conhecida como Frey-Hellegouarch [nota 3])

y 2 = x (xuma p )(x + b p )

teria propriedades tão incomuns que era improvável que fosse modular. [128] Isso entraria em conflito com o teorema da modularidade, que afirmava que todas as curvas elípticas são modulares. Como tal, Frey observou que uma prova da conjectura de Taniyama – Shimura – Weil também pode provar simultaneamente o Último Teorema de Fermat. [129] Por contraposição, um refutação ou a refutação do Último Teorema de Fermat refutaria a conjectura de Taniyama-Shimura-Weil.

Em português claro, Frey havia mostrado que, se essa intuição sobre sua equação estivesse correta, qualquer conjunto de 4 números (a, b, c, n) capaz de refutar o Último Teorema de Fermat também poderia ser usado para refutar o Taniyama-Shimura –Temos conjecturas. Portanto, se o último fosse verdade, o primeiro não poderia ser refutado e também teria que ser verdadeiro.

Seguindo essa estratégia, uma prova do Último Teorema de Fermat exigiu duas etapas. Primeiro, foi necessário provar o teorema da modularidade - ou pelo menos prová-lo para os tipos de curvas elípticas que incluíam a equação de Frey (conhecidas como curvas elípticas semistáveis). Isso foi amplamente considerado inacessível à prova por matemáticos contemporâneos. [127]: 203-205, 223, 226 Em segundo lugar, era necessário mostrar que a intuição de Frey estava correta: que se uma curva elíptica fosse construída desta forma, usando um conjunto de números que fossem uma solução da equação de Fermat, o resultado a curva elíptica não pode ser modular. Frey mostrou que isso era plausível mas não foi ao ponto de fornecer uma prova completa. A peça que faltava (a chamada "conjectura épsilon", agora conhecida como teorema de Ribet) foi identificada por Jean-Pierre Serre que também deu uma prova quase completa e a ligação sugerida por Frey foi finalmente provada em 1986 por Ken Ribet. [130]

Seguindo o trabalho de Frey, Serre e Ribet, era aqui que as coisas estavam:

  • O último teorema de Fermat precisava ser provado para todos os expoentes n que eram números primos.
  • O teorema da modularidade - se provado para curvas elípticas semi-estáveis ​​- significaria que todas as curvas elípticas semestáveis deve ser modular.
  • O teorema de Ribet mostrou que qualquer solução para a equação de Fermat para um número primo poderia ser usada para criar uma curva elíptica semi-estável que não conseguia ser modular
  • A única maneira de ambas as afirmações serem verdadeiras, seria se não soluções existiam para a equação de Fermat (porque então nenhuma curva poderia ser criada), que era o que o Último Teorema de Fermat dizia. Como o Teorema de Ribet já foi provado, isso significava que uma prova do Teorema da Modularidade provaria automaticamente que o Último Teorema de Fermat também era verdadeiro.

Prova geral de Wiles Editar

A prova de Ribet da conjectura épsilon em 1986 cumpriu o primeiro dos dois objetivos propostos por Frey. Ao saber do sucesso de Ribet, Andrew Wiles, um matemático inglês com uma fascinação infantil pelo Último Teorema de Fermat, e que havia trabalhado em curvas elípticas, decidiu se comprometer a realizar a segunda metade: provar um caso especial do teorema da modularidade (então conhecido como a conjectura de Taniyama – Shimura) para curvas elípticas semistáveis. [131]

Wiles trabalhou nessa tarefa por seis anos em sigilo quase total, encobrindo seus esforços ao divulgar trabalhos anteriores em pequenos segmentos como papéis separados e confidenciando apenas a sua esposa. [127]: 229–230 Seu estudo inicial sugeriu prova por indução, [127]: 230–232, 249–252 e ele baseou seu trabalho inicial e primeiro avanço significativo na teoria de Galois [127]: 251–253, 259 antes de mudar para uma tentativa de estender a teoria horizontal de Iwasawa para o argumento indutivo por volta de 1990-91, quando parecia que não havia uma abordagem adequada para o problema. [127]: 258–259 No entanto, em meados de 1991, a teoria de Iwasawa também parecia não estar alcançando as questões centrais do problema. [127]: 259–260 [132] Em resposta, ele abordou colegas para buscar quaisquer dicas de pesquisa de ponta e novas técnicas, e descobriu um sistema de Euler recentemente desenvolvido por Victor Kolyvagin e Matthias Flach que parecia "feito sob medida" para a parte indutiva de sua prova. [127]: 260–261 Wiles estudou e estendeu essa abordagem, que funcionou. Como seu trabalho se baseava amplamente nessa abordagem, que era nova para a matemática e para Wiles, em janeiro de 1993 ele pediu a seu colega de Princeton, Nick Katz, que o ajudasse a verificar se havia erros sutis em seu raciocínio. A conclusão deles na época foi que as técnicas usadas por Wiles pareciam funcionar corretamente. [127]: 261–265 [133]

Em meados de maio de 1993, Wiles sentiu-se capaz de dizer a sua esposa que pensava ter resolvido a prova do Último Teorema de Fermat, [127]: 265 e em junho ele se sentiu suficientemente confiante para apresentar seus resultados em três palestras proferidas em 21-23 de junho 1993 no Instituto Isaac Newton de Ciências Matemáticas. [134] Especificamente, Wiles apresentou sua prova da conjectura de Taniyama – Shimura para curvas elípticas semistáveis ​​junto com a prova de Ribet da conjectura épsilon, o que implica o Último Teorema de Fermat.No entanto, ficou claro durante a revisão por pares que um ponto crítico da prova estava incorreto. Continha um erro em um limite na ordem de um grupo específico. O erro foi detectado por vários matemáticos que julgaram o manuscrito de Wiles, incluindo Katz (em seu papel como revisor), [135] que alertou Wiles em 23 de agosto de 1993. [136]

O erro não teria tornado seu trabalho inútil - cada parte do trabalho de Wiles era altamente significativa e inovadora por si só, assim como os muitos desenvolvimentos e técnicas que ele havia criado no decorrer de seu trabalho, e apenas uma parte foi afetada. [127]: 289, 296-297 No entanto, sem esta parte provada, não havia prova real do Último Teorema de Fermat. Wiles passou quase um ano tentando consertar sua prova, inicialmente sozinho e depois em colaboração com seu ex-aluno Richard Taylor, sem sucesso. [137] [138] [139] No final de 1993, rumores se espalharam que, sob escrutínio, a prova de Wiles havia falhado, mas a seriedade não era conhecida. Os matemáticos estavam começando a pressionar Wiles a revelar seu trabalho completo ou não, para que a comunidade mais ampla pudesse explorar e usar tudo o que ele havia conseguido realizar. Mas, em vez de ser corrigido, o problema, que originalmente parecia menor, agora parecia muito significativo, muito mais sério e menos fácil de resolver. [140]

Wiles afirma que na manhã de 19 de setembro de 1994, ele estava prestes a desistir e quase resignado a aceitar que havia falhado e a publicar seu trabalho para que outros pudessem construí-lo e consertar o erro. Ele acrescenta que estava dando uma olhada final para tentar entender as razões fundamentais pelas quais sua abordagem não funcionou, quando ele teve um insight repentino - que a razão específica pela qual a abordagem Kolyvagin-Flach não funcionaria diretamente tb significava que suas tentativas originais usando a teoria de Iwasawa poderiam funcionar, se ele a fortalecesse usando sua experiência adquirida com a abordagem Kolyvagin-Flach. Consertar uma abordagem com ferramentas da outra abordagem resolveria o problema para todos os casos que ainda não foram comprovados por seu artigo referenciado. [137] [141] Ele descreveu mais tarde que a teoria de Iwasawa e a abordagem Kolyvagin-Flach eram inadequadas por conta própria, mas juntos poderiam se tornar poderosos o suficiente para superar esse obstáculo final. [137]

"Eu estava sentado em minha mesa examinando o método Kolyvagin-Flach. Não que eu acreditasse que poderia fazer isso funcionar, mas pensei que pelo menos poderia explicar por que não funcionou. De repente, tive uma revelação incrível. Percebi que o método Kolyvagin – Flach não estava funcionando, mas era tudo que eu precisava para fazer minha teoria Iwasawa original funcionar três anos antes. Então, das cinzas de Kolyvagin – Flach parecia surgir a verdadeira resposta para o problema . Era tão indescritivelmente lindo, tão simples e tão elegante. Eu não conseguia entender como havia perdido isso e apenas o encarei incrédulo por vinte minutos. Depois, durante o dia, caminhei pelo departamento e eu " Continuava voltando à minha mesa para ver se ainda estava lá. Ainda estava lá. Não consegui me conter, estava tão animada. Foi o momento mais importante da minha vida profissional. Nada do que eu fizer de novo vai significa tanto. " - Andrew Wiles, citado por Simon Singh [142]

Em 24 de outubro de 1994, Wiles apresentou dois manuscritos, "Curvas elípticas modulares e o último teorema de Fermat" [143] [144] e "Propriedades teóricas do anel de certas álgebras de Hecke", [145] o segundo dos quais foi coautor com Taylor e provou que foram atendidas certas condições que eram necessárias para justificar a etapa corrigida no artigo principal. Os dois artigos foram examinados e publicados na íntegra na edição de maio de 1995 da Annals of Mathematics. Esses artigos estabeleceram o teorema da modularidade para curvas elípticas semestáveis, o último passo para provar o Último Teorema de Fermat, 358 anos depois de ter sido conjecturado.

Desenvolvimentos subsequentes Editar

A conjectura completa de Taniyama – Shimura – Weil foi finalmente provada por Diamond (1996), [9] Conrad et al. (1999), [10] e Breuil et al. (2001) [11] que, com base no trabalho de Wiles, gradualmente lascou os casos restantes até que o resultado completo fosse provado. A conjectura agora totalmente comprovada tornou-se conhecida como teorema da modularidade.

Vários outros teoremas na teoria dos números semelhantes ao Último Teorema de Fermat também seguem o mesmo raciocínio, usando o teorema da modularidade. Por exemplo: nenhum cubo pode ser escrito como a soma de dois coprimos n-ésimo poderes, n ≥ 3. (O caso n = 3 já era conhecido por Euler.)

O último teorema de Fermat considera soluções para a equação de Fermat: uma n + b n = c n com inteiros positivos uma , b , e c e um inteiro n maior que 2. Existem várias generalizações da equação de Fermat para equações mais gerais que permitem o expoente n para ser um número inteiro negativo ou racional, ou para considerar três expoentes diferentes.

Edição de equação de Fermat generalizada

A equação de Fermat generalizada generaliza a afirmação do último teorema de Fermat, considerando soluções inteiras positivas a, b, c, m, n, k satisfazendo [146]


Notas

Uma breve resenha do livro O Modulor pode ser encontrada em Ostwald (2001), o relato sobre o desenvolvimento do Modulor é dado em Matteoni (1986).

Para uma das primeiras discussões, ver Pevsner (1957).

Sequência (2.1) - (2.2) pode ser encontrada em Le Corbusier (2000: I, 51) Sequência (2.3) - (2.4) em Le Corbusier (2000: I, 67) Sequência (2.5) - (2.6) em Le Modulor étude 1945, Documento 32285, Sequência FLC (2.7) - (2.8) no Documento 21007, FLC.

Substituto (a_n =) dentro de_= a_+ a_) obter (<>>=<>>+<>> ). Divida os dois lados por (> ) para obter a equação quadrática (q ^ 2 = q + 1 ), que tem duas raízes irracionais (q = <(1 mp sqrt <5>)> / <2> ). Assim, se uma progressão geométrica possui a propriedade de recursão de Fibonacci, a razão comum é necessariamente (q = <(1 mp sqrt <5>)> / <2> ). Seguindo o argumento no sentido contrário, é claro que essa condição também é suficiente.

Veja esta observação também em Evans (1995: 275).

Evans (1995: 395, observação 7) menciona que a duplicação da série foi ideia de Le Corbusier, enquanto a introdução dos números de Fibonacci poderia ser a contribuição de Jerzy Soltan.

Veja esta observação também em Tell (2019: 32, 34).

Ver Fischler (1979) sobre as relações de Le Corbusier com a proporção áurea.

Evans (1995: 279) afirma que essas próprias instruções contêm uma contradição matemática, mas este não é o caso. Como veremos a seguir, existe uma solução para este problema. Os erros foram cometidos nas soluções propostas.

Veja esta observação também em Linton (2004: 56). Minha abordagem nesta seção tem muitos pontos comuns com a análise geométrica cuidadosa de Linton e eu concordo com a maioria de suas afirmações, excluindo algumas observações que menciono mais adiante no texto.

Veja Linton (2004: 62) que fornece outra prova e faz uma observação sobre a prova fornecida aqui.

Usamos a seguinte declaração: suponha que ( ângulo B ) é o ângulo reto de um triângulo retângulo abc inscrito em um círculo. Então AC é um diâmetro deste círculo.

Suponho que essa incompatibilidade entre o problema e as soluções seja o resultado da negação de Le Corbusier da verdadeira extensão de um independente pesquisa dos fundamentos das normas por seu assistente. Veja também Loach (1998: 207).

Linton (2004: 59-63) investiga três diagramas, atribuindo o último a Taton. No entanto, duvido que o matemático tenha criado seu próprio diagrama - ele pode simplesmente fornecer uma explicação do diagrama de Maillard e Le Corbusier.

Veja também Fischler (1979: 100). A frase da citação de André Wogenscky também poderia ser uma evidência implícita: 'A pesquisa foi retomada em ritmo acelerado após a Segunda Guerra Mundial, e foi nessa época que, com a ajuda de colaboradores e como resultado de lentidão, tentativa processo, a grade do local de trabalho foi abandonada e o Modulor foi inventado ”(Wogenscky 1987: 124). Segundo Soltan (1987: 2), Gerald Hanning deixou o ateliê por volta dessa época, em 1945, e esse pode ser um dos motivos do abandono da geometria para o novo rumo às escalas antropomórficas.

A primeira proposta de Hanning em sua carta de 25 de agosto de 1943 (FLC B317) parece conter um erro semelhante em seu próprio diagrama: um ângulo inscrito está erroneamente marcado como sendo ângulo reto. Isso indica que a descoberta de Hanning das falhas de ambos os diagramas não foi imediata.

Para detalhes sobre o mito da proporção áurea, remeto o leitor a estes textos escritos por historiadores da arte e matemáticos: Gamwell (2015), Gardner (1994), Frascari e Volpi Ghirardini (2015), Herz-Fischler (2005), Frings (2002 ) e Markowsky (1992).


Van Ceulen

Ludolf van Ceulen (1540-1610) nasceu em Hildesheim, Alemanha, em uma família numerosa que não era particularmente rica. Consequentemente, Van Ceulen recebeu apenas o ensino fundamental e não sabia ler latim ou grego, línguas nas quais a maioria dos textos matemáticos eram publicados (O’Connor e Robertson, 2009). Quando jovem, com grande interesse por matemática, ele contou com amigos para traduzir textos importantes para ele.

Ludolf van Ceulen, Ludolphi à Ceulen de circulo et adscriptis liber & # 8230. Omnia é vernaculo latina fecit, et annotationibus illustravit Willebrordus Snellius (Leiden, 1619), retrato da página de título.

Havia muitas aproximações de π antes de Van Ceulen (incluindo aquelas atribuídas a Ptolomeu, Al-Khwārizmī e Fibonacci), mas foi Arquimedes quem teve uma grande influência no trabalho e nas descobertas de Van Ceulen. Arquimedes publicou o primeiro cálculo teórico de π por volta de 250 aC que ele encontrou usando um polígono regular de 96 lados (Vajta 2000). Van Ceulen estava obcecado pelo trabalho de Arquimedes e quando eventualmente um amigo o traduziu para ele, Van Ceulen foi inspirado a passar o resto de sua vida procurando uma melhor aproximação de π usando o método de Arquimedes (O’Connor e Robertson, 2009). No momento de sua morte, Van Ceulen determinou π para 35 casas decimais e, como observa Vajta & # 8216, os alemães ficaram tão impressionados com a conquista de Van Ceulen & # 8217 que começaram a chamar [π] o número de Ludolph & # 8217s. & # 8217 (Vajta)

Devido à sua falta de latim, ele foi incapaz de publicar quaisquer novas descobertas por si mesmo, e então se concentrou em revisar e criticar o trabalho de outros, o que resultou em uma série de disputas matemáticas. William Goudaan, um professor de Haarlem, apresentou um problema geométrico que Van Ceulen resolveu, mas Goudaan não aceitou sua solução e publicou suas próprias descobertas. Van Ceulen percebeu que essas descobertas estavam incorretas e, portanto, em 1584, publicou seu próprio lado da disputa (O’Connor e Robertson, 2009).

Quando Simon van der Eycke (1584-1603) publicou uma prova incorreta da quadratura do círculo em 1584, Van Ceulen lançou duas publicações destacando o erro de Van Der Eycke. Posteriormente, enquanto Van Ceulen lecionava em Leiden, um importante professor publicou um trabalho no qual afirmava que π era igual a . Van Ceulen sabia que isso estava incorreto e quando se aproximou do professor, Van Ceulen foi desafiado a colocar suas objeções por escrito. No entanto, ele não pôde participar dessa disputa, sua incapacidade de escrever em latim o proibiu de se envolver nos termos usuais (O’Connor, J e Robertson, E.F, 2009).

O aluno mais famoso de Van Ceulen foi Willebrord Snell (1580-1626), que traduziu duas das obras de Van Ceulen para o latim após sua morte (biography.com, 2008). Isso os tornou mais acessíveis aos matemáticos de todo o mundo.

Ludolf van Ceulen, Ludolphi à Ceulen de circulo et adscriptis liber & # 8230. Omnia é vernaculo latina fecit, et annotationibus illustravit Willebrordus Snellius (Leiden, 1619), p. 6

Acima é mostrado um diagrama de um círculo com um triângulo equilátero inscrito e um pentágono regular junto com algumas construções gerando polígonos regulares com mais de 5 lados. Observe as raízes quadradas escritas à mão ao longo de alguns dos lados, denotando os comprimentos necessários para a construção.

Na tabela abaixo, Van Ceulen lista alguns comprimentos de interesse novamente usando raízes quadradas. Especificamente, ele começa com um triângulo equilátero que tem três lados e cada vez calcula o comprimento de um lado de um polígono regular com o dobro do número de lados do anterior.

Ludolf van Ceulen, Ludolphi à Ceulen de circulo et adscriptis liber & # 8230. Omnia é vernaculo latina fecit, et annotationibus illustravit Willebrordus Snellius (Leiden, 1619), p. 22

A próxima tabela mostra um cálculo semelhante no qual Van Ceulen usou um círculo com diâmetro muito grande (200000000000000) e deu o comprimento de um lado de cada polígono regular inscrito. Por exemplo, um hexágono inscrito (seis lados) tem o comprimento do lado exatamente a metade do diâmetro do círculo.

Ludolf van Ceulen, Ludolphi à Ceulen de circulo et adscriptis liber & # 8230. Omnia é vernaculo latina fecit, et annotationibus illustravit Willebrordus Snellius (Leiden, 1619), p. 48

Van Ceulen morreu em 31 de dezembro de 1610 e foi enterrado na Igreja de São Pedro em Leiden. Suas aproximações para π foram gravadas em sua lápide original, que desapareceu (Vajta 2000). Hoje, uma versão moderna está na Igreja de São Pedro e # 8217s e esculpida em sua lápide está seu limite inferior de 3,14159265558979323846264338327950288 e seu limite superior de 3,14159265558979323846264338327950289, isso honra sua contribuição para melhorar a precisão da geometria e trigonometria (O'Connor, 2009) e e também aparece na capa da Worth & # 8217s cópia de Ludolphi à Ceulen De circulo et adscriptis liber.

Vajta, M., Transformada de Fourier e Ludolph van Ceulen, University of Twente (Holanda).

O’Connor, J. J. e E. F. Robertson, Ludolf van Ceulen, História da Matemática MacTutor (University of St Andrews, 2009).


Palavras-chave

Oaks é responsável pelo conteúdo deste artigo, e Alkhateeb pelas traduções do árabe. Os autores expressam seus agradecimentos a Barnabas Hughes e a um revisor anônimo por seus comentários atenciosos em uma versão anterior deste artigo.

Notas gerais. Notação para referências a al-Khwārizmī: R 3/210, M & ampA 161 significa Rosen & # x27s edition [al-Khwārizmī, The Algebra of Mohammed ben Musa, Oriental Translation Fund, London, 1831], tradução em inglês página 3, texto em árabe página 2 , linha 10, e Musharrafa & # x27s e Aḥmad & # x27s edição árabe [al-Khwārizmī, Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa & # x27l-muqābala, editado por 'Alī Muṣṭafā Musharrafa e Muḥammad Mursī Aḥ página, Cairo, 1939 16, linha 1. Referências a Abū Kāmil: A 937, L 2576, H 15813 significa texto árabe [Abū Kāmil, Kitāb fī al-jabr wa & # x27l-muqābala, Instituto de História da Ciência Árabe-Islâmica, Frankfurt am Main, 1986] página 93, linha 7, texto latino [Sesiano, La version latine médiévale de l & # x27algèbre d & # x27Abū Kāmil, Rodopi, Amsterdam, 1993, pp. 315-452] linha 2576, e edição hebraica [Levey, The Algebra of Abū Kāmil: Kitāb fī al-jābr wa'l-muqābala em um comentário de Mordecai Finzi. University of Wisconsin, Madison, 1966] página 158, linha 13 da tradução para o inglês. Referências a Ibn Badr: IB 52/3619 refere-se a [Sánchez Pérez, Compendio de Álgebra de Abenbéder, Impr. Ibérica, Madrid, 1916], tradução para o espanhol página 52, texto em árabe página 36, ​​linha 19. Um ponto e vírgula separa o número da página do número da linha em outras referências também. O número da linha indica o início do referido trecho, que pode estender-se por várias linhas. Em textos em que as linhas já estão numeradas, nós as acatamos. Traduções. Como Rosen e Levey interpretaram mal o significado de muitas palavras, achamos necessário produzir novas traduções diretamente do árabe. Para al-Khwārizmī, usamos principalmente a edição Musharrafa & # x27s e Aḥmad & # x27s, mas também com atenção à edição Rosen & # x27s e às traduções latinas. Também traduzimos Ibn Badr do árabe.