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Quantos dígitos de Pi os antigos egípcios conheciam?

Quantos dígitos de Pi os antigos egípcios conheciam?

Com base no "Papiro Rhind" de 1600 aC, sabemos que os egípcios tinham uma estimativa para pi, a saber, 3,16, o que significa que conheciam apenas 2 dígitos de pi. De acordo com este artigo, eles sabiam mais dígitos, pelo menos 4 dígitos do pi. Por volta de 200 aC, Arquimedes estimou pi em 22/7, que é 3 dígitos de pi. Isso indica que os egípcios sabiam mais dígitos 2.000 anos antes de Arquimedes, no entanto, não está claro para mim quantos dígitos eles realmente sabiam.

http://www.bcamt.ca/wp-content/uploads/2015/03/Yochim.pdf


Os antigos egípcios na época do papiro Rhind realmente não tinham o conceito de Pi. O método que eles descreveram para encontrar a área de um círculo era inscrevê-lo dentro de um quadrado e aplicar a proporção de 64/81 à área dentro do quadrado. No entanto, sabemos hoje que isso é matematicamente equivalente a usar um Pi de 256/81. Isso é um cabelo menor que 3,1605, que na página da linha do tempo da Wikipedia equivale a ter uma casa decimal.

Os antigos babilônios e indianos, mais ou menos ao mesmo tempo, tinham suas próprias heurísticas que resultaram em um Pi de 3 + 1/8 e 25/8, respectivamente, ou 3,125 (exatamente). Isso estava um pouco mais perto, mas também com precisão de apenas uma casa decimal. Ninguém mais é conhecido por ter estabelecido uma estimativa significativamente melhor até as 2 casas decimais de Arquimedes, quase 2.000 anos depois.

O artigo que você vinculou está fazendo várias especulações e extrapolando a partir delas. Não quero ignorar o cara: são algumas especulações fascinantes. Acho a ideia dos construtores de pirâmides girando em torno de uma roda giratória para traçar os quatro cantos particularmente atraente. Mas, em sua base, esse artigo é apenas muita especulação pessoal e diversão matemática, construída em torno de um núcleo de fatos históricos e matemáticos. É claro que é bem possível ser usando Pi sem saber; isso é exatamente o que nossos usuários de trundle wheel estariam fazendo.

Houve um egiptólogo que argumentou já em 1940 que os egípcios também usavam o 22/7, mas esse argumento não parece ser amplamente aceito hoje. Não tenho certeza de quão próximos os argumentos dele correspondem ao artigo que você vinculou.


O Último Dígito do Pi

[Esta é uma transcrição aproximada de minha palestra TEDxNYED, proferida em 6 de março de 2010, na cidade de Nova York, na Collegiate School. TEDxNYED foi uma conferência de um dia inteiro & # 8220 examinando o papel das novas mídias e tecnologia na definição do futuro da educação. & # 8221 Para uma meta-postagem sobre a experiência de dar uma palestra TED (x), leia & # 8220Academic Theatre (Reflexões sobre TED e TEDxNYED). & # 8221 O que eu realmente disse e fiz em TEDxNYED desviou-se desta transcrição, envolvi o público diretamente algumas vezes, uma para me divertir e outra para obter suas idéias sobre o assunto. Vou postar o vídeo quando estiver disponível.]

Eu quero contar a você uma história sobre um reino esquecido da educação e do conhecimento. É um conto de advertência, uma parábola do que acontece quando o mundo muda, quando a tradição é desafiada.

Até há relativamente pouco tempo na história da humanidade, pi era a solução muito procurada para o que por muito tempo foi chamado de "retificação" ou "quadratura" do círculo, palavras bonitas mais facilmente simbolizadas pelo diagrama neste slide. Como você pode transformar esse círculo no quadrado sobreposto? Um lado do quadrado seria um quarto de pi se o diâmetro do círculo fosse 1.

Pi foi um número cobiçado por milhares de anos, imbuído de propriedades mágicas. Gerações de estudiosos a perseguiram obstinadamente, muitas vezes considerando-a a essência e a finalidade da geometria.

Este é um pi diferente - pi como nós modernos o conhecemos:

Bem, nem tudo, como tenho certeza que você sabe. São apenas os primeiros 200 ou mais dígitos. O número se estende para sempre. Espero que você não esteja esperando que eu revele o último dígito real de pi. Porque não há um. Estranho, não?

Pi nem sempre foi tão estranho. Os antigos egípcios sabiam disso, fixando a razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo em 4 sobre 3 para a 4ª potência. Isso é consideravelmente mais definido e, portanto, muito mais sensato.

Arquimedes sabia melhor, baseando-se no valor de pi entre duas frações muito próximas.

Se você for um literalista bíblico, pi parece ser 3, uma vez que a Bíblia descreve claramente 30 côvados como englobando um círculo de 10 côvados de diâmetro.

E as soluções continuaram chegando. De antigos matemáticos e filósofos, a estudiosos medievais, ao Renascimento e ao Iluminismo. Todos pareciam capazes de encontrar - com esforço suficiente - o valor exato de pi. A quadratura do círculo foi um esforço de gênio em uma ciência antiga perfeitamente descrita séculos atrás por Euclides.

Mas algo mudou radicalmente no século XVIII, logo depois daquele livro à direita de Joubert de la Rue. Alguns matemáticos começaram a levar mais a sério a sensação incômoda de que pi não tinha uma solução perfeita como fração mágica. Afinal, pode não ter um último dígito. Esse número crítico no centro da matemática pode, de fato, ser irracional. Um matemático começou a reconceptualizar pi.

E aí está ele: o elegante matemático suíço-alemão Johann Heinrich Lambert:

Ele era filho de um alfaiate, obviamente, e era basicamente um autodidata em matemática. Seu brilhante trabalho na década de 1760 mostrou que π / 4 não poderia ser um número racional - você nunca poderia descobrir exatamente o valor de um lado desse quadrado - e, portanto, esse pi também era irracional. Depois de Lambert, os livros de matemática declararam que o problema estava resolvido.

Isso mesmo, problema resolvido & # 8230

Exceto & # 8230.circle-quadring continuou em andamento. O mundo da matemática mudou com as descobertas do século XVIII, mas de alguma forma a mensagem não chegou a muitas pessoas. John Parker, à esquerda, veio com minha solução favorita: pi é precisamente 20612/6561. Alguns quadratários, como James Smith à direita, zombaram da prova de Lambert & # 8217 como obra de um diletante.

As coisas então ficaram irritadas entre os novos matemáticos e aqueles que se agarraram à visão anterior de pi. O registro dessa guerra é tão informativo quanto engraçado. Nas décadas de 1860 e 70, James Smith enfrentou Augustus De Morgan, um professor de matemática em Londres, em uma série de panfletos curtos, que eram o equivalente vitoriano do Twitter.

Mas, sem surpresa, as punições dos professores de matemática não impediram os quadratários. Suas soluções continuaram vindo, mesmo em face de críticas, mesmo depois de pi ter se mostrado transcendental, o que significa que não poderia ser a raiz de algum outro número ou equação. Meu livro favorito da virada do século XX tinha este subtítulo na capa: & # 8220O grande problema que confundiu os maiores filósofos e as mentes mais brilhantes dos tempos antigos e modernos foi agora resolvido por um humilde cidadão americano da cidade de Brooklyn. & # 8221

Agora, é fácil rir desses quadratários equivocados, especialmente quando eles são do Brooklyn. Mas se você ler quadrantes de círculos a sério e parar para pensar sobre isso, eles não são tão diferentes de você ou de mim. Mesmo em nossos tempos de conhecimento, todos nós persistimos em fazer coisas que os outros há muito abandonaram como absurdas ou ultrapassadas.

A história nos diz que as pessoas, infelizmente, não são muito boas em ver o novo e, em vez disso, são muito boas em manter o passado a todo custo. Isso é particularmente verdadeiro na educação: Euclides Elementos, escrito há mais de 2.000 anos, ainda era um livro-texto de matemática padrão no século 19, apesar dos principais avanços matemáticos.

Portanto, vale a pena fazer uma pausa para pensar sobre o último dígito de pi. Por que tantos continuaram a buscar o pi como era tradicionalmente concebido e por que resistiram à nova matemática?

Pense por um momento sobre a distinção entre o antigo e o novo pi. O antigo era perfeito, simples, ordenado, divino o novo, aparentemente impreciso, prosaico, caótico, humano. Portanto, a história de pi é a história, e a psicologia, do que acontece quando o complexo e o novo tentam superar o simples e o tradicional.

Isso está acontecendo ao nosso redor na era digital. Estamos substituindo o que foi percebido como perfeito e ordenado pelo aparentemente impreciso e caótico.

Veja o que aconteceu, por exemplo, na última década com a Wikipedia e a angústia sobre o destino da Enciclopédia tradicional.

Ou jornais diante de novas formas de jornalismo, como os blogs. Um ex-estatístico do beisebol, Nate Silver, do FiveThirtyEight.com, pode descaradamente decidir analisar as eleições e a economia melhor do que a maioria dos jornais? Sim, de fato.

Agora, esse público, do lado direito dessas telas, pode querer ser tão cruel quanto Augustus De Morgan com aqueles que ainda estão à esquerda. Podemos querer deixar os modernos quadrantes de círculos para trás e, sem dúvida, alguns deles serão deixados para trás. Mas para a maioria que está insegura e presa entre o velho e o novo, precisamos de outros métodos para convencê-los e mudar o status quo. A história nos diz que não basta dizer que as pessoas são cegas para o futuro. Temos que mostrar precisamente quais são as fraquezas dos antigos & # 8230

& # 8230e temos que mostrar como o novo funciona melhor do que o antigo.

Saber o pi corretamente até o décimo dígito é extremamente útil ao prever com precisão os movimentos dos corpos celestes, tente usar o 3 1/8 de James Smith ao traçar o arco de um planeta ou lua. Para alguns físicos, saber pi com precisão até o 40º dígito é crítico.

Além disso, esse pi moderno pode ser estranho, mas sua própria estranheza abriu novos caminhos de pesquisa e pensamento que eram tão intelectualmente desafiadores e recompensadores quanto formar a quadratura do círculo. A natureza transcendental de pi levou os matemáticos a ponderar sequências infinitas de frações e teve um impacto na teoria do caos. Na ciência da computação, desenvolver algoritmos para atingir um bilhão ou trilhões de dígitos de pi o mais rápido possível avançou no campo. E, se você ainda quiser que um problema não resolvido seja resolvido, veja se consegue descobrir se pi é o que é chamado de "número normal", onde a distribuição dos dígitos 0-9 é uniforme & # 8230

& # 8230ou existe, em vez disso, uma preponderância de oitos. Bem, esse é um problema difícil, relacionado a problemas reais da matemática moderna. Portanto, ainda há problemas a serem resolvidos, problemas mais avançados. A matemática não terminou com o fim do antigo pi - apenas mudou para direções novas e mais interessantes.

Mas, para chegar a esse ponto, os matemáticos tiveram que mostrar de uma maneira compreensível como o novo pi criou uma nova ordem.


Conteúdo

As aproximações mais conhecidas de π datando de antes da Era Comum eram precisas com duas casas decimais, o que foi melhorado na matemática chinesa em particular em meados do primeiro milênio, com uma precisão de sete casas decimais. Depois disso, nenhum progresso foi feito até o final do período medieval.

Alguns egiptólogos [4] afirmaram que os antigos egípcios usavam uma aproximação de π como 22 ⁄ 7 = 3,142857 (cerca de 0,04% alto demais) já no Império Antigo. [5] Esta afirmação encontrou ceticismo. [6] [7]

Por volta do século 5 dC, π era conhecido por cerca de sete dígitos na matemática chinesa e por cerca de cinco dígitos na matemática indiana. Não houve progresso adicional por quase um milênio, até o século 14, quando o matemático e astrônomo indiano Madhava de Sangamagrama, fundador da escola de astronomia e matemática de Kerala, descobriu a série infinita para π, agora conhecida como série Madhava-Leibniz, [21] [22] e deu dois métodos para calcular o valor de π. Um desses métodos é obter uma série de convergência rápida transformando a série infinita original de π. Ao fazer isso, ele obteve a série infinita

e usou os primeiros 21 termos para calcular uma aproximação de π correta para 11 casas decimais como 3,141 592 653 59.

O outro método que ele usou foi adicionar um termo remanescente à série original de π. Ele usou o termo restante

Jamshīd al-Kāshī (Kāshānī), um astrônomo e matemático persa, calculou corretamente 2 π a 9 dígitos sexagesimais em 1424. [23] Este número é equivalente a 17 dígitos decimais como

Ele alcançou esse nível de precisão calculando o perímetro de um polígono regular com 3 × 2 28 lados. [24]

Na segunda metade do século 16, o matemático francês François Viète descobriu um produto infinito que convergiu em π conhecido como fórmula de Viète.

O matemático alemão-holandês Ludolph van Ceulen (cerca de 1600) calculou as primeiras 35 casas decimais de π com um 2 62 -gon. Ele estava tão orgulhoso dessa conquista que os inscreveu em sua lápide. [25]

No Cyclometricus (1621), Willebrord Snellius demonstrou que o perímetro do polígono inscrito converge na circunferência duas vezes mais rápido do que o perímetro do polígono circunscrito correspondente. Isso foi provado por Christiaan Huygens em 1654. Snellius foi capaz de obter sete dígitos de π de um polígono de 96 lados. [26]

Em 1789, o matemático esloveno Jurij Vega calculou as primeiras 140 casas decimais para π, das quais as primeiras 126 estavam corretas [27] e manteve o recorde mundial por 52 anos até 1841, quando William Rutherford calculou 208 casas decimais, das quais a primeira 152 estavam corretos. Vega melhorou a fórmula de John Machin a partir de 1706 e seu método ainda é mencionado hoje. [ citação necessária ]

A magnitude de tal precisão (152 casas decimais) pode ser contextualizada pelo fato de que a circunferência do maior objeto conhecido, o universo observável, pode ser calculada a partir de seu diâmetro (93 bilhões de anos-luz) para uma precisão inferior a um comprimento de Planck (em 1,6162 × 10 −35 metros, a menor unidade de comprimento com significado real) usando π expresso com apenas 62 casas decimais. [28]

O matemático amador inglês William Shanks, um homem de recursos independentes, passou mais de 15 anos calculando π com 607 casas decimais. Isso foi realizado em 1873, com os primeiros 527 lugares corretos. [29] Ele calculava novos dígitos durante toda a manhã e, então, passava a tarde verificando seu trabalho matinal. Essa foi a expansão mais longa do π até o advento do computador digital eletrônico, três quartos de século depois. [ citação necessária ]

Em 1910, o matemático indiano Srinivasa Ramanujan encontrou várias séries infinitas de π convergindo rapidamente, incluindo

que calcula mais oito casas decimais de π com cada termo da série. Suas séries são agora a base para os algoritmos mais rápidos usados ​​atualmente para calcular π. Veja também a série Ramanujan – Sato.

A partir de meados do século 20, todos os cálculos de π foram feitos com a ajuda de calculadoras ou computadores.

Em 1944, D. F. Ferguson, com o auxílio de uma calculadora mecânica de mesa, descobriu que William Shanks havia cometido um erro na 528ª casa decimal e que todos os dígitos seguintes estavam incorretos.

Nos primeiros anos do computador, uma expansão de π para 100.000 casas decimais [30]: 78 foi calculada pelo matemático de Maryland Daniel Shanks (nenhuma relação com o mencionado William Shanks) e sua equipe no Laboratório de Pesquisa Naval dos Estados Unidos em Washington, DC Em 1961, Shanks e sua equipe usaram duas séries de potências diferentes para calcular os dígitos de π. Para um, sabia-se que qualquer erro produziria um valor ligeiramente alto, e para o outro, sabia-se que qualquer erro produziria um valor ligeiramente baixo. E, portanto, desde que as duas séries produzissem os mesmos dígitos, havia uma confiança muito alta de que eles estavam corretos. Os primeiros 100.265 dígitos de π foram publicados em 1962. [30]: 80-99 Os autores delinearam o que seria necessário para calcular π para 1 milhão de casas decimais e concluíram que a tarefa estava além da tecnologia daquele dia, mas seria possível em cinco a sete anos. [30]: 78

Em 1989, os irmãos Chudnovsky computaram π para mais de 1 bilhão de casas decimais no supercomputador IBM 3090 usando a seguinte variação da série infinita de π de Ramanujan:

Desde então, todos os registros foram realizados usando o algoritmo de Chudnovsky. Em 1999, Yasumasa Kanada e sua equipe na Universidade de Tóquio calcularam π em mais de 200 bilhões de casas decimais no supercomputador HITACHI SR8000 / MPP (128 nós) usando outra variação da série infinita de π de Ramanujan. Em novembro de 2002, Yasumasa Kanada e uma equipe de 9 outras pessoas usaram o Hitachi SR8000, um supercomputador de 64 nós com 1 terabyte de memória principal, para calcular π para aproximadamente 1,24 trilhão de dígitos em cerca de 600 horas (25 dias). Em outubro de 2005, eles afirmaram ter calculado para 1,24 trilhão de lugares. [31]

Em agosto de 2009, um supercomputador japonês chamado T2K Open Supercomputer mais que dobrou o recorde anterior, calculando π para aproximadamente 2,6 trilhões de dígitos em aproximadamente 73 horas e 36 minutos.

Em dezembro de 2009, Fabrice Bellard usou um computador doméstico para calcular 2,7 trilhões de dígitos decimais de π. Os cálculos foram realizados na base 2 (binária), depois o resultado foi convertido para a base 10 (decimal). As etapas de cálculo, conversão e verificação levaram um total de 131 dias. [32]

Em agosto de 2010, Shigeru Kondo usou o y-cruncher de Alexander Yee para calcular 5 trilhões de dígitos de π. Este foi o recorde mundial para qualquer tipo de cálculo, mas significativamente foi realizado em um computador doméstico construído por Kondo. [33] O cálculo foi feito entre 4 de maio e 3 de agosto, com as verificações primária e secundária levando 64 e 66 horas, respectivamente. [34]

Em outubro de 2011, Shigeru Kondo quebrou seu próprio recorde ao computar dez trilhões (10 13) e cinquenta dígitos usando o mesmo método, mas com hardware melhor. [35] [36]

Em dezembro de 2013, Kondo quebrou seu próprio recorde pela segunda vez quando calculou 12,1 trilhões de dígitos de π. [37]

Em outubro de 2014, Sandon Van Ness, usando o pseudônimo de "houkouonchi", usou o y-cruncher para calcular 13,3 trilhões de dígitos de π. [38]

Em novembro de 2016, Peter Trueb e seus patrocinadores computaram no y-cruncher e verificaram totalmente 22,4 trilhões de dígitos de π (22.459.157.718.361 (π e × 10 12)). [39] O cálculo levou (com três interrupções) 105 dias para ser concluído, [38] a limitação de expansão posterior sendo principalmente espaço de armazenamento. [37]

Em março de 2019, Emma Haruka Iwao, funcionária do Google, calculou 31,4 trilhões de dígitos de pi usando y-cruncher e máquinas do Google Cloud. Isso levou 121 dias para ser concluído. [40]

Em janeiro de 2020, Timothy Mullican anunciou o cálculo de 50 trilhões de dígitos em 303 dias. [41] [42]

De alguma notabilidade são textos legais ou históricos que supostamente "definem π" para ter algum valor racional, como o "Indiana Pi Bill" de 1897, que afirmava que "a proporção do diâmetro e da circunferência é de cinco quartos para quatro" (que implicaria " π = 3,2 ") e uma passagem na Bíblia Hebraica que implica que π = 3 .

Edição de lei de Indiana

A chamada "Lei do Pi de Indiana" de 1897 foi frequentemente caracterizada como uma tentativa de "legislar o valor do Pi". Em vez disso, o projeto tratava de uma solução proposta para o problema de "quadratura do círculo" geometricamente. [46]

Valor bíblico imputado Editar

Às vezes, é afirmado que a Bíblia Hebraica implica que "π é igual a três", com base em uma passagem em 1 Reis 7:23 e 2 Crônicas 4: 2 que fornece medidas para a bacia redonda localizada em frente ao Templo em Jerusalém como tendo um diâmetro de 10 côvados e uma circunferência de 30 côvados.

O assunto é discutido no Talmud e na literatura rabínica. [47] Entre as muitas explicações e comentários estão estes:

    explicou isso em seu Mishnat ha-Middot (o mais antigo texto hebraico conhecido sobre geometria, ca. 150 DC), dizendo que o diâmetro foi medido a partir do lado de fora borda enquanto a circunferência foi medida ao longo do interno aro. Esta interpretação implica uma borda de cerca de 0,225 côvado (ou, assumindo um "côvado" de 18 polegadas, cerca de 4 polegadas), ou uma e uma terceira "largura de mão" de espessura (cf. NKJV e NKJV). afirma (ca. 1168 EC) que π só pode ser conhecido aproximadamente, então o valor 3 foi dado como preciso o suficiente para fins religiosos. Isso é considerado por alguns [48] como a primeira afirmação de que π é irracional.
  • Outra explicação rabínica [por quem?] [ano necessário] invoca gematria: Em NKJV, a palavra traduzida como 'linha de medição' aparece no texto hebraico escrito KAVEH קַוה, mas em outros lugares a palavra é mais comumente escrita KAV קַו. A proporção dos valores numéricos dessas grafias hebraicas é
  • 111 ⁄ 106. Se o valor putativo de 3 é multiplicado por esta razão, obtém-se
  • 333 ⁄ 106 = 3,141509433. - dando 4 dígitos decimais corretos, que estão dentro
  • 1 ⁄ 10.000 do valor verdadeiro de π.

Ainda há algum debate sobre essa passagem nos estudos bíblicos. [ verificação falhada ] [49] [50] Muitas reconstruções da bacia mostram uma borda mais larga (ou borda alargada) estendendo-se para fora da própria tigela por vários centímetros para coincidir com a descrição dada em NKJV [51]. Nos versos seguintes, a borda é descrita como "de um palmo de espessura e a aba era trabalhada como a aba de um copo, como a flor de um lírio: recebia e segurava três mil banhos" NKJV, o que sugere uma forma que pode ser envolvida por um cordão mais curto do que o comprimento total da borda, por exemplo, uma flor Lilium ou uma xícara de chá.

Aproximação de polígono a um círculo Editar

Arquimedes, em seu Medição de um Círculo, criou o primeiro algoritmo para o cálculo de π com base na ideia de que o perímetro de qualquer polígono (convexo) inscrito em um círculo é menor que a circunferência do círculo, que, por sua vez, é menor que o perímetro de qualquer polígono circunscrito . Ele começou com hexágonos regulares inscritos e circunscritos, cujos perímetros são facilmente determinados. Ele então mostra como calcular os perímetros de polígonos regulares de duas vezes mais lados que estão inscritos e circunscritos em torno do mesmo círculo. Este é um procedimento recursivo que seria descrito hoje da seguinte forma: pk e Pk denotam os perímetros de polígonos regulares de k lados que são inscritos e circunscritos ao mesmo círculo, respectivamente. Então,

Arquimedes usa isso para calcular sucessivamente P12, p12, P24, p24, P48, p48, P96 e p96 . [52] Usando estes últimos valores ele obtém

Não se sabe por que Arquimedes parou em um polígono de 96 lados, basta ter paciência para estender os cálculos. Heron relata em seu Metrica (cerca de 60 DC) que Arquimedes continuou o cálculo em um livro agora perdido, mas então atribuiu um valor incorreto a ele. [53]

Arquimedes não usa trigonometria neste cálculo e a dificuldade em aplicar o método reside na obtenção de boas aproximações para as raízes quadradas que estão envolvidas. A trigonometria, na forma de uma tabela de comprimentos de corda em um círculo, foi provavelmente usada por Cláudio Ptolomeu de Alexandria para obter o valor de π dado no Almagest (cerca de 150 dC). [54]

Avanços na aproximação de π (quando os métodos são conhecidos) foram feitos aumentando o número de lados dos polígonos usados ​​no cálculo. Um aprimoramento trigonométrico de Willebrord Snell (1621) obtém melhores limites a partir de um par de limites obtido a partir do método do polígono. Assim, resultados mais precisos foram obtidos de polígonos com menos lados. [55] A fórmula de Viète, publicada por François Viète em 1593, foi derivada por Viète usando um método poligonal intimamente relacionado, mas com áreas ao invés de perímetros de polígonos cujos números de lados são potências de dois. [56]

A última grande tentativa de calcular π por este método foi realizada por Grienberger em 1630, que calculou 39 casas decimais de π usando o refinamento de Snell. [55]

Edição de fórmula semelhante a uma máquina

Para cálculos rápidos, pode-se usar fórmulas como a de Machin:

junto com a expansão da série de Taylor da função arctan (x) Esta fórmula é verificada mais facilmente usando coordenadas polares de números complexos, produzindo:

( = <239, 13 2> é uma solução para a equação de Pell x 2 −2 y 2 = −1.)

As fórmulas deste tipo são conhecidas como Fórmulas semelhantes a máquinas. A fórmula particular de Machin foi usada bem na era do computador para calcular números recordes de dígitos de π, [30] mas, mais recentemente, outras fórmulas semelhantes também foram usadas.

Por exemplo, Shanks e sua equipe usaram a seguinte fórmula semelhante a de Machin em 1961 para calcular os primeiros 100.000 dígitos de π: [30]

e eles usaram outra fórmula semelhante a Machin,

O recorde em dezembro de 2002 por Yasumasa Kanada da Universidade de Tóquio era de 1.241.100.000.000 de dígitos. As seguintes fórmulas semelhantes a Machin foram usadas para isso:

Outras fórmulas clássicas Editar

Outras fórmulas que foram usadas para calcular estimativas de π incluem:

Transformação de convergência de Newton / Euler: [57]

onde (2k + 1) !! denota o produto dos inteiros ímpares até 2k + 1.

O trabalho de Ramanujan é a base do algoritmo de Chudnovsky, o algoritmo mais rápido usado, a partir da virada do milênio, para calcular π.

Algoritmos modernos Editar

Expansões decimais extremamente longas de π são normalmente calculadas com fórmulas iterativas como o algoritmo de Gauss-Legendre e o algoritmo de Borwein. Este último, encontrado em 1985 por Jonathan e Peter Borwein, converge com extrema rapidez:

yk + 1 = (1 - f (yk)) / (1 + f (yk)), ak + 1 = ak (1 + yk + 1) 4 - 2 2 k + 3 yk + 1 (1 + yk + 1 + yk + 1 2) < displaystyle y_= (1-f (y_)) / (1 + f (y_))

onde f (y) = (1 - y 4) 1/4 < displaystyle f (y) = (1-y ^ <4>) ^ <1/4 >>, a sequência 1 / ak < displaystyle 1 / uma_> converge quarticamente para π, dando cerca de 100 dígitos em três etapas e mais de um trilhão de dígitos após 20 etapas. No entanto, sabe-se que usar um algoritmo como o algoritmo de Chudnovsky (que converge linearmente) é mais rápido do que essas fórmulas iterativas.

Essas aproximações têm tantos dígitos que não têm mais uso prático, exceto para testar novos supercomputadores. [58] Propriedades como a normalidade potencial de π sempre dependerão da seqüência infinita de dígitos no final, não de qualquer cálculo finito.

Aproximações diversas Editar

Historicamente, a base 60 era usada para cálculos. Nesta base, π pode ser aproximado de oito (decimais) algarismos significativos com o número 38,29,4460, qual é

(O próximo dígito sexagesimal é 0, fazendo com que o truncamento aqui produza uma aproximação relativamente boa.)

Além disso, as seguintes expressões podem ser usadas para estimar π:

  • com precisão de três dígitos:
  • com precisão de três dígitos:
  • com precisão de quatro dígitos:
  • com precisão de quatro dígitos (ou cinco algarismos significativos):
  • uma aproximação de Ramanujan, com precisão de 4 dígitos (ou cinco algarismos significativos):
  • com precisão de cinco dígitos:
  • com precisão de seis dígitos [2]:
  • com precisão de sete dígitos:
  • com precisão de nove dígitos:
  • com precisão de dez dígitos:
  • com precisão de dez dígitos (ou onze algarismos significativos):
  • com precisão de 18 dígitos:
  • com precisão de 30 casas decimais:
  • com precisão de 52 casas decimais:
  • com precisão de 161 casas decimais:
  • A representação contínua da fração de π pode ser usada para gerar as melhores aproximações racionais sucessivas. Essas aproximações são as melhores aproximações racionais possíveis de π em relação ao tamanho de seus denominadores. Aqui está uma lista dos primeiros treze deles: [64] [65]

Somando a área de um círculo Editar

Pi pode ser obtido de um círculo se seu raio e área forem conhecidos usando a relação:

Se um círculo com raio r é desenhado com seu centro no ponto (0, 0), qualquer ponto cuja distância da origem seja menor que r cairá dentro do círculo. O teorema de Pitágoras fornece a distância de qualquer ponto ( x , y ) para o centro:

O "papel gráfico" matemático é formado imaginando-se um quadrado 1 × 1 centrado em torno de cada célula ( x , y ), Onde x e y são inteiros entre - r e r. Quadrados cujo centro reside dentro ou exatamente na borda do círculo podem então ser contados testando se, para cada célula ( x , y ),

O número total de células que satisfazem essa condição, portanto, se aproxima da área do círculo, que então pode ser usado para calcular uma aproximação de π. Aproximações mais próximas podem ser produzidas usando valores maiores de r.

Matematicamente, esta fórmula pode ser escrita:

Em outras palavras, comece escolhendo um valor para r. Considere todas as células ( x , y ) em que ambos x e y são inteiros entre - r e r. Começando em 0, adicione 1 para cada célula cuja distância até a origem (0,0) seja menor ou igual a r . Quando terminar, divida a soma, representando a área de um círculo de raio r, por r 2 para encontrar a aproximação de π. Por exemplo, se r for 5, as células consideradas são:

(−5,5) (−4,5) (−3,5) (−2,5) (−1,5) (0,5) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)
(−5,4) (−4,4) (−3,4) (−2,4) (−1,4) (0,4) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)
(−5,3) (−4,3) (−3,3) (−2,3) (−1,3) (0,3) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)
(−5,2) (−4,2) (−3,2) (−2,2) (−1,2) (0,2) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)
(−5,1) (−4,1) (−3,1) (−2,1) (−1,1) (0,1) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)
(−5,0) (−4,0) (−3,0) (−2,0) (−1,0) (0,0) (1,0) (2,0) (3,0) (4,0) (5,0)
(−5,−1) (−4,−1) (−3,−1) (−2,−1) (−1,−1) (0,−1) (1,−1) (2,−1) (3,−1) (4,−1) (5,−1)
(−5,−2) (−4,−2) (−3,−2) (−2,−2) (−1,−2) (0,−2) (1,−2) (2,−2) (3,−2) (4,−2) (5,−2)
(−5,−3) (−4,−3) (−3,−3) (−2,−3) (−1,−3) (0,−3) (1,−3) (2,−3) (3,−3) (4,−3) (5,−3)
(−5,−4) (−4,−4) (−3,−4) (−2,−4) (−1,−4) (0,−4) (1,−4) (2,−4) (3,−4) (4,−4) (5,−4)
(−5,−5) (−4,−5) (−3,−5) (−2,−5) (−1,−5) (0,−5) (1,−5) (2,−5) (3,−5) (4,−5) (5,−5)

r área aproximação de π
2 13 3.25
3 29 3.22222
4 49 3.0625
5 81 3.24
10 317 3.17
20 1257 3.1425
100 31417 3.1417
1000 3141549 3.141549

Da mesma forma, as aproximações mais complexas de π dadas abaixo envolvem cálculos repetidos de algum tipo, produzindo aproximações cada vez mais próximas com o aumento do número de cálculos.

Edição contínua de frações

Além de sua representação de fração contínua simples [3 7, 15, 1, 292, 1, 1,. ], que não exibe nenhum padrão discernível, π tem muitas representações de fração contínuas generalizadas geradas por uma regra simples, incluindo essas duas.

(Outras representações estão disponíveis em The Wolfram Functions Site.)

Edição de trigonometria

Gregory – Leibniz series Edit

é a série de potências para arctan (x) especializada em x = 1. Converte muito lentamente para ter interesse prático. No entanto, a série de potências converge muito mais rápido para valores menores de x < displaystyle x>, o que leva a fórmulas em que π < displaystyle pi> surge como a soma de pequenos ângulos com tangentes racionais, conhecidas como fórmulas tipo Machin.

Editar Arctangent

Sabendo que 4 arctan 1 = π, a fórmula pode ser simplificada para obter:

com uma convergência tal que cada 10 termos adicionais produzam pelo menos mais três dígitos.

Alternativamente, a seguinte série de expansão simples da função arco tangente pode ser usada

Arcsine Edit

Observando um triângulo equilátero e observando que

com uma convergência tal que cada cinco termos adicionais produzam pelo menos mais três dígitos.

O algoritmo Salamin-Brent Editar

A fórmula de Bailey – Borwein – Plouffe (BBP) para calcular π foi descoberta em 1995 por Simon Plouffe. Usando matemática de base 16, a fórmula pode calcular qualquer dígito particular de π - retornando o valor hexadecimal do dígito - sem ter que calcular os dígitos intermediários (extração de dígitos). [68]

Em 1996, Simon Plouffe derivou um algoritmo para extrair o enésimo dígito decimal de π (usando matemática de base 10 para extrair um dígito de base 10), e que pode fazer isso com uma velocidade melhorada de O(n 3 (log n) 3) tempo. O algoritmo não requer virtualmente nenhuma memória para o armazenamento de uma matriz ou matriz, portanto, o milionésimo dígito de π pode ser calculado usando uma calculadora de bolso. [69] No entanto, seria muito tedioso e impraticável fazer isso.

A velocidade de cálculo da fórmula de Plouffe foi melhorada para O(n 2) por Fabrice Bellard, que derivou uma fórmula alternativa (embora apenas na matemática de base 2) para calcular π. [70]

Muitas outras expressões para π foram desenvolvidas e publicadas pelo matemático indiano Srinivasa Ramanujan. Ele trabalhou com o matemático Godfrey Harold Hardy na Inglaterra por vários anos.

Expansões decimais extremamente longas de π são normalmente calculadas com o algoritmo de Gauss-Legendre e o algoritmo de Borwein, o algoritmo de Salamin-Brent, que foi inventado em 1976, também foi usado.

Em 1997, David H. Bailey, Peter Borwein e Simon Plouffe publicaram um artigo (Bailey, 1997) sobre uma nova fórmula para π como uma série infinita:

Esta fórmula permite calcular facilmente o ko dígito binário ou hexadecimal de π, sem ter que calcular o anterior k - 1 dígito. O site de Bailey [71] contém a derivação, bem como implementações em várias linguagens de programação. O projeto PiHex calculou 64 bits em torno do quadrilionésimo bit de π (que acabou sendo 0).

Outras fórmulas que foram usadas para calcular estimativas de π incluem:

Isso converge extraordinariamente rápido. O trabalho de Ramanujan é a base para os algoritmos mais rápidos usados, a partir da virada do milênio, para calcular π.

Em 1988, David Chudnovsky e Gregory Chudnovsky encontraram uma série de convergência ainda mais rápida (o algoritmo de Chudnovsky):

A velocidade de vários algoritmos para calcular pi para n dígitos corretos é mostrada abaixo em ordem decrescente de complexidade assintótica. M (n) é a complexidade do algoritmo de multiplicação empregado.

Algoritmo Ano Complexidade de tempo ou velocidade
Algoritmo de Chudnovsky 1988 O (n log ⁡ (n) 3) < displaystyle O (n log (n) ^ <3>)> [38]
Algoritmo de Gauss-Legendre 1975 O (M (n) log ⁡ (n)) < displaystyle O (M (n) log (n))> [73]
Divisão binária da série arctan na fórmula de Machin O (M (n) (log ⁡ n) 2) < displaystyle O (M (n) ( log n) ^ <2>)> [73]
Fórmula de Leibniz para π Década de 1300 Convergência sublinear. Cinco bilhões de termos para 10 casas decimais corretas

Pi Hex Edit

Pi Hex era um projeto para calcular três dígitos binários específicos de π usando uma rede distribuída de várias centenas de computadores. Em 2000, após dois anos, o projeto terminou de computar o cinco trilionésimo (5 * 10 12), o quarenta trilionésimo e o quatrilionésimo (10 15) bits. Todos os três acabaram sendo 0.

Ao longo dos anos, vários programas foram escritos para calcular π para muitos dígitos em computadores pessoais.

Edição de uso geral

A maioria dos sistemas de álgebra de computador pode calcular π e outras constantes matemáticas comuns com qualquer precisão desejada.

Funções para calcular π também estão incluídas em muitas bibliotecas gerais para aritmética de precisão arbitrária, por exemplo Class Library for Numbers, MPFR e SymPy.

Edição de propósito especial

Programas projetados para calcular π podem ter melhor desempenho do que softwares matemáticos de uso geral. Eles normalmente implementam pontos de verificação e troca de disco eficiente para facilitar cálculos de execução extremamente longa e com alto custo de memória.


Quantos dígitos do Pi você precisa memorizar para ser especial

Hoje é Pi Day & mdash o dia de cada ano, 14 de março, que segue os três primeiros dígitos de pi (3,14). E este ano o Dia do Pi é especial: como & mdash nos EUA & mdash a data é representada como 14/03/15, temos os primeiros cinco dígitos de pi no calendário.

Isso é uma novidade para algumas pessoas. Quando se trata de quantos dígitos de pi as pessoas sabem de cor, a maioria sabe apenas 3,14. O que é ótimo! A menos que você precise construir uma ponte, isso é o máximo que você realmente precisa saber.

Pedi ao SurveyMonkey Audience para fazer uma enquete para ver até onde as pessoas poderiam chegar recitando os dígitos infinitos de pi. Dos 941 entrevistados, 836 tentaram nomear os dígitos após a vírgula decimal. Foi assim que eles chegaram:

NÍVEL DE PRECISÃO PERCENTAGEM DE RESPONDENTES
3.1 73
3.14 64
3.141 33
3.1415 26
3.14159 19
3.141592 12
3.1415926 10
3.14159265 7
3.141592653 5

Se você conseguir chegar aos 3 primeiros após a vírgula decimal, estará entre os 5% principais dos memorizadores de pi. Pedi às pessoas que chegaram tão longe que continuassem, e a maioria desistiu pouco depois.

A maior queda ocorreu depois de & ldquo3.14 & rdquo, pois os entrevistados que chegaram até lá chegaram a & ldquo3.141 & rdquo apenas cerca de 52% das vezes.

Os funcionários da NASA provavelmente podem se safar sabendo apenas os primeiros seis dígitos após a vírgula decimal. Além disso, temos calculadoras para quando precisarmos de mais alguns dígitos, TI-89s para quando essas calculadoras forem insuficientes e Wolfram Alpha para quando as reduzirmos a uma bagunça derretida fumegante.

Talvez depois do apocalipse tão antecipado, os caras do Large Hadron Collider ficarão felizes em ter aquele cara que memorizou dezenas de milhares de dígitos pi por aí, mas por agora, ele & rsquos só tem um hobby estranho. Saber que pi é estritamente um ato performativo, como pessoas que prontamente oferecem sua pontuação no SAT ou porcentagem de conclusão do ensino médio.


Quantos dígitos de Pi os antigos egípcios conheciam? - História

Pi é o nome dado à razão entre a circunferência de um círculo e o diâmetro. Isso significa que, para qualquer círculo, você pode dividir a circunferência (a distância ao redor do círculo) pelo diâmetro e sempre obter exatamente o mesmo número. Não importa quão grande ou pequeno seja o círculo, Pi permanece o mesmo. O Pi costuma ser escrito com o símbolo e é pronunciado como & quotpie & quot, assim como a sobremesa.

Uma breve história do Pi
As civilizações antigas sabiam que havia uma proporção fixa entre a circunferência e o diâmetro que era aproximadamente igual a três. Os gregos refinaram o processo e Arquimedes é creditado com o primeiro cálculo teórico de Pi.

Em 1761, Lambert provou que Pi era irracional, ou seja, que não pode ser escrito como uma proporção de números inteiros.

Em 1882, Lindeman provou que Pi era transcendental, ou seja, que Pi não é a raiz de nenhuma equação algébrica com coeficientes racionais. Essa descoberta provou que não é possível "quadrar um círculo", problema que ocupava muitos matemáticos até então. (Mais informações sobre como quadrar o círculo.)

Quantos dígitos existem? Isso nunca acaba?
Como Pi é conhecido como um número irracional, isso significa que os dígitos nunca terminam ou se repetem de qualquer maneira conhecida.Mas calcular os dígitos de Pi provou ser um fascínio para os matemáticos ao longo da história. Alguns passaram a vida calculando os dígitos do Pi, mas até os computadores, menos de 1.000 dígitos haviam sido calculados. Em 1949, um computador calculou 2.000 dígitos e a corrida começou. Milhões de dígitos foram calculados, com o registro mantido (em setembro de 1999) por um supercomputador da Universidade de Tóquio que calculou 206.158.430.000 dígitos. (primeiros 1.000 dígitos)

Mais sobre a História do Pi pode ser encontrado nos arquivos do Mac Tutor Math History.

Aproximação de Pi
Arquimedes calculou que Pi estava entre 3 10/71 e 3 1/7 (também escrito 223/71

Pi Web Sites
Pi continua a fascinar muitas pessoas ao redor do mundo. Se você estiver interessado em aprender mais, existem muitos sites dedicados ao número Pi. Existem sites que oferecem milhares, milhões ou bilhões de dígitos, clubes de pi, música de pi, pessoas que calculam dígitos, pessoas que memorizam dígitos, experimentos de Pi e muito mais. Verifique esta página do Yahoo para obter uma lista completa.

Um experimento legal de Pi
Uma das maneiras mais interessantes de aprender mais sobre Pi é fazer você mesmo experimentos de pi. Aqui está um famoso chamado Agulha de Buffon.

No experimento da agulha de Buffon, você pode colocar uma agulha em uma folha de papel pautada. Se você acompanhar quantas vezes a agulha pousa em uma linha, ela estará diretamente relacionada ao valor de Pi.

Applet de simulação de agulha de Buffon (Michael J. Hurben)
Agulha de Buffon (George Reese, Office for Mathematics, Science and Technology Education University of Illinois Champaign-Urbana)

100 primeiras casas decimais

3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 .

Primeiras 1000 casas decimais
3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989


Pi, alguém? O segredo para memorizar dezenas de milhares de dígitos

Todos os anos, os entusiastas da matemática comemoram o Dia do Pi em 14 de março, porque a data contém os primeiros três dígitos (3,14) de pi, ou π, a constante matemática que representa a proporção da circunferência de um círculo em relação ao seu diâmetro. Neste ano, o evento é ainda mais especial porque, pela primeira vez em um século, a data representará os cinco primeiros dígitos do pi: 3.14.15.

Pi é um número irracional, o que significa que não pode ser expresso como uma fração e sua representação decimal nunca termina e nunca se repete.

Há muitas maneiras de comemorar o Dia do Pi, incluindo consumir grandes quantidades de sua deliciosa torta homófona. Mas um punhado de pessoas leva sua admiração mais longe, recitando dezenas de milhares de dígitos de pi de memória. [Os 9 números mais massivos da existência]

Em 1981, um indiano chamado Rajan Mahadevan recitou com precisão 31.811 dígitos do pi de memória. Em 1989, o japonês Hideaki Tomoyori recitou 40.000 dígitos. O atual Recorde Mundial do Guinness é detido por Lu Chao, da China, que, em 2005, recitou 67.890 dígitos do pi.

Apesar de suas realizações impressionantes, a maioria dessas pessoas não nasceu com memórias extraordinárias, sugerem os estudos. Eles simplesmente aprenderam técnicas para associar sequências de dígitos a lugares ou cenas imaginárias em suas mentes.

Para muitos desses campeões da memória, a capacidade de "lembrar um grande número de dígitos aleatórios, como pi, é algo que eles treinam para fazer por um longo período de tempo", disse Eric Legge, psicólogo cognitivo da Universidade de Alberta em Edmonton, Canadá.

Entre no palácio da mente

Os especialistas em memorização de pi geralmente usam uma estratégia conhecida como método dos loci, também chamada de "palácio da memória" ou técnica do "palácio da mente" (como a usada pelo personagem de Benedict Cumberbatch na série de TV da BBC "Sherlock"). Aplicado desde os tempos dos antigos gregos e romanos, o método envolve o uso de visualização espacial para lembrar informações, como dígitos, rostos ou listas de palavras.

"É uma das estratégias de memória mais eficazes, embora complexas, para lembrar grandes conjuntos de informações", disse Legge ao Live Science.

Funciona assim: você se coloca em um ambiente familiar, como uma casa, e caminha por esse ambiente colocando pedaços das informações que deseja lembrar em vários lugares. Por exemplo, você pode colocar o número "717" no canto da porta da frente, o número "919" na pia da cozinha e assim por diante, disse Legge.

"Para lembrar [os dígitos] em ordem, tudo o que você simplesmente precisa fazer é seguir o mesmo caminho que andou quando estava armazenando essas informações", disse Legge. "Ao fazer isso, as pessoas podem se lembrar de enormes conjuntos de informações."

Nutrir, não a natureza

Anders Ericsson, professor de psicologia da Florida State University em Tallahassee, estudou Lu e outros que estabeleceram recordes de recitação de dígitos de pi, para descobrir como conseguiram esses impressionantes feitos de memorização.

Como a maioria dos outros recitadores de pi, Lu usou técnicas de visualização para ajudá-lo a se lembrar. Ele atribuiu imagens como uma cadeira, um rei ou um cavalo a combinações de dois dígitos de números variando de "00" a "99". Em seguida, ele inventou uma história usando essas imagens, que estava ligada a um local físico, disse Ericsson.

Há alguns anos, Ericsson e seus colegas aplicaram a Lu, assim como a um grupo de pessoas da mesma idade e nível de escolaridade, um teste que mediu sua "amplitude de dígitos" & mdash em outras palavras, o quão bem eles conseguiam se lembrar de uma sequência aleatória dígitos apresentados a uma taxa de um dígito por segundo.

O intervalo de dígitos de Lu foi de 8,83, em comparação com uma média de 9,27 para o resto do grupo, de acordo com o estudo, que foi publicado em 2009 no Journal of Experimental Psychology. Os resultados sugerem que, ao contrário de alguns outros especialistas em memória que foram estudados, a habilidade de Lu em memorizar longas listas de dígitos não era o resultado de uma habilidade inata em codificar informações. Em vez disso, foi o resultado de anos de prática, disse Ericsson.

Então, isso significa que qualquer pessoa pode aprender a lembrar dezenas de milhares de dígitos do pi?

"Houve muitas demonstrações de que pessoas comuns, com treinamento, podem melhorar drasticamente seu desempenho" na memorização de longas listas, disse Ericsson. "Mas eu tenho que ser honesto", disse ele. "Quando você assume o compromisso de memorizar pi ... estamos falando de anos antes de você realmente alcançar um desempenho recorde."


O sistema numérico e as operações aritméticas

Os egípcios, como os romanos depois deles, expressavam números de acordo com um esquema decimal, usando símbolos separados para 1, 10, 100, 1.000, e assim por diante, cada símbolo aparecia na expressão de um número tantas vezes quanto o valor que ele representava ocorria no próprio número. Por exemplo, significava 24. Esta notação um tanto pesada foi usada dentro da escrita hieroglífica encontrada em inscrições de pedra e outros textos formais, mas nos documentos de papiro os escribas empregaram uma escrita abreviada mais conveniente, chamada escrita hierática, onde, por exemplo, 24 foi escrito / >.

Em tal sistema, adição e subtração equivalem a contar quantos símbolos de cada tipo existem nas expressões numéricas e então reescrever com o número de símbolos resultante. Os textos que sobreviveram não revelam quais procedimentos especiais os escribas usaram para auxiliar nisso, se é que houve algum. Mas, para a multiplicação, eles introduziram um método de duplicação sucessiva. Por exemplo, para multiplicar 28 por 11, constrói-se uma tabela de múltiplos de 28 como a seguinte:

As várias entradas na primeira coluna que juntas somam 11 (ou seja, 8, 2 e 1) são marcadas. O produto é então encontrado somando os múltiplos correspondentes a essas entradas, portanto, 224 + 56 + 28 = 308, o produto desejado.

Para dividir 308 por 28, os egípcios aplicaram o mesmo procedimento ao contrário. Usando a mesma tabela do problema de multiplicação, pode-se ver que 8 produz o maior múltiplo de 28 que é menor que 308 (pois a entrada em 16 já é 448), e 8 é marcado. O processo é então repetido, desta vez para o restante (84) obtido subtraindo a entrada em 8 (224) do número original (308). Isso, no entanto, já é menor do que a entrada em 4, que conseqüentemente é ignorada, mas é maior do que a entrada em 2 (56), que é então marcada. O processo é repetido novamente para o resto obtido subtraindo 56 do resto anterior de 84, ou 28, que também acontece para ser exatamente igual à entrada em 1 e que é então marcada. As entradas que foram marcadas são somadas, produzindo o quociente: 8 + 2 + 1 = 11. (Na maioria dos casos, é claro, há um resto que é menor que o divisor.)

Para números maiores, este procedimento pode ser melhorado considerando múltiplos de um dos fatores por 10, 20, ... ou mesmo por ordens de magnitude maiores (100, 1.000, ...), conforme necessário (na notação decimal egípcia, esses múltiplos são fáceis malhar). Assim, pode-se encontrar o produto de 28 por 27 estabelecendo os múltiplos de 28 por 1, 2, 4, 8, 10 e 20. Como as entradas 1, 2, 4 e 20 somam 27, temos apenas para somar os múltiplos correspondentes para encontrar a resposta.

Cálculos envolvendo frações são realizados sob a restrição de partes unitárias (isto é, frações que na notação moderna são escritas com 1 como numerador). Para expressar o resultado da divisão de 4 por 7, por exemplo, que na notação moderna é simplesmente 4/7, o escriba escreveu 1/2 + 1/14. O procedimento para encontrar quocientes nesta forma meramente estende o método usual para a divisão de inteiros, onde agora se inspeciona as entradas para 2/3, 1/3, 1/6, etc., e 1/2, 1/4, 1/8, etc., até que os múltiplos correspondentes do divisor somam o dividendo. (Os escribas incluíram 2/3, pode-se observar, mesmo que não seja uma fração unitária.) Na prática, o procedimento pode às vezes se tornar bastante complicado (por exemplo, o valor para 2/29 é dado no papiro Rhind como 1 / 24 + 1/58 + 1/174 + 1/232) e pode ser resolvido de maneiras diferentes (por exemplo, o mesmo 2/29 pode ser encontrado como 1/15 + 1/435 ou como 1/16 + 1 / 232 + 1/464, etc.). Uma porção considerável dos textos em papiro é dedicada a tabelas para facilitar a descoberta de tais valores de fração unitária.

Essas operações elementares são tudo o que é necessário para resolver os problemas aritméticos dos papiros. Por exemplo, “para dividir 6 pães entre 10 homens” (papiro Rhind, problema 3), basta dividir para obter a resposta 1/2 + 1/10. Em um grupo de problemas, um truque interessante é usado: “Uma quantidade (umahuma) e seu sétimo juntos formam 19 - o que é? ” (Atrás do papiro, problema 24). Aqui, supõe-se primeiro que a quantidade seja 7: desde 1 1 /7 dele torna-se 8, não 19, toma-se 19/8 (ou seja, 2 + 1/4 + 1/8), e seu múltiplo por 7 (16 + 1/2 + 1/8) torna-se a resposta necessária. Este tipo de procedimento (às vezes chamado de método de "falsa posição" ou "falsa suposição") é familiar em muitas outras tradições aritméticas (por exemplo, chinês, hindu, muçulmano e europeu renascentista), embora pareçam não ter ligação direta para o egípcio.


10.000 dígitos de Pi formatados para humanos

3.
1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872
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A alegria da aritmética de ponto flutuante sexagesimal

No mês passado, escrevi sobre o hype em torno de um novo artigo sobre o muito estudado tablet Plimpton 322. Este antigo tablet da Mesopotâmia, que tem sido o assunto de muitos trabalhos acadêmicos ao longo das últimas décadas, tem colunas de números relacionadas a triângulos retângulos, mas não sabemos exatamente como ou por que a tabela foi criada.

Em minha postagem, critiquei o vídeo publicitário que os pesquisadores fizeram para acompanhar o lançamento do artigo. Especificamente, fiquei irritado com as estranhas observações que um dos pesquisadores fez sobre a utilidade relativa da base 60, ou sexagesimal, em comparação com a base 10, ou sistema decimal, que usamos hoje.

Para ser claro, a base 60 tem uma grande vantagem sobre a base 10: 60 é divisível por 3 e 10 isn & rsquot. É fácil escrever as frações 1/2, 1/4 e 1/5 na base 10: elas são iguais a 0,5, 0,25 e 0,2, respectivamente. Mas 1/3 é 0,3333 & hellip. Sua representação decimal não termina. Isso realmente não é um problema para nós, porque nos sentimos confortáveis ​​em representar números como decimais ou frações. Mas o sistema numérico da Babilônia não representava frações em termos de numeradores e denominadores da maneira que fazemos. Eles usavam apenas a forma sexagesimal, que seria como nós apenas usando decimais em vez de escrever números como frações. Em sexagesimal, 1/3 tem uma representação fácil como. É 20/60, que poderia ser escrito como 0,20 em um sistema sexagesimal. (Não foi escrito precisamente dessa forma pelos antigos mesopotâmicos porque eles não tinham um equivalente à vírgula decimal. Voltaremos a isso mais tarde.)

Quanto mais fatores primos, melhor quando se trata de representar números facilmente usando um sistema numérico posicional como a base 10 ou 60, mas esses fatores extras têm um custo. Na base 10, só precisamos aprender 10 dígitos. A base 30, a menor base divisível por 2, 3 e 5 (60 tem um fator extra de 2 que não faz uma grande diferença na facilidade de representar números), requer 30 dígitos distintos. Se quiséssemos escrever frações como 1/7 usando uma representação análoga, teríamos que pular até a base 210. Trabalhar com tantos dígitos se torna incômodo muito rapidamente.

As frações cujos denominadores têm apenas fatores de 2 e 5 têm representações decimais finitas. A Base 12 também seria bastante conveniente. Ele tem fatores primos de 2 e 3, e é muito fácil contar até 12 nos dedos usando as juntas de uma das mãos em vez dos dedos individuais. (Um de meus alunos de história da matemática escreveu uma postagem defendendo um sistema numérico de base 12, ou dúzia.) Com a base 12, perdemos a capacidade de representar 1/5 ou 1/10 facilmente. Mas 30 ou 60, as menores bases que permitem os fatores primos 2, 3 e 5, são terrivelmente grandes. É uma troca. Pessoalmente, a ideia de ter que manter o controle de 30 ou 60 dígitos diferentes, mesmo que eles sejam bastante autoexplicativos, como os dígitos da Babilônia eram, é demais para mim, então eu devo ficar com 10 ou 12. Mas vá em frente e balance o sexagesimal se isso é coisa sua.

A base 60 certamente tem essa vantagem principal sobre a base 10, mas fiquei incomodado com a maneira como Mansfield exagerou essa vantagem no vídeo promocional que fizeram para acompanhar o jornal. Aqui está o que escrevi sobre isso no mês passado:

Talvez a utilidade de diferentes tipos de tabelas trigonométricas seja uma questão de opinião, mas o vídeo UNSW também contém algumas falsidades sobre a precisão na base 60 versus o sistema de base 10 que usamos agora. Em torno da marca de 1:10, diz Mansfield, & ldquoNós contamos na base 10, que tem apenas duas frações exatas: 1/2, que é 0,5, e 1 / 5. & rdquo Minha primeira objeção é que qualquer fração é exata. O número 1/3 é precisamente 1/3. Mansfield deixa claro que o que ele quer dizer com 1/3 não sendo uma fração exata é que tem um infinito (0,333 & hellip) em vez de um decimal final. Mas e quanto a 1/4? Isso é 0,25, que termina, mas Mansfield não o considera uma fração exata. E quanto a 1/10 ou 2/5? Esses podem ser escritos 0.1 e 0.4, que parecem bastante exatos.

Indefensivelmente, quando ele elogia as muitas "frações exatas" disponíveis na base 60, ele não aplica os mesmos padrões. Na base 60, 1/8 seria escrito 7/60 + 30/3600, que é a mesma ideia de escrever 0,25, ou 2/10 + 5/100, para 1/4 na base 10. Por que 1/8 é exato em base 60, mas 1/4 não é exata na base 10?

Não vou reformular minha postagem aqui, mas quero esclarecer um ponto. Algumas pessoas que criticaram essa crítica ao vídeo acham que os números que mencionei são apenas números aleatórios flutuando no éter do vídeo. Eles não sabem! Como Mansfield não explicou o que os números significavam, eles podem parecer aleatórios, mas, na verdade, a expressão 1/8 = 7,30 significa alguma coisa. Eu fiz meus alunos trabalharem um pouco com aritmética de base 60 quando eu ensinei história da matemática, então eu imediatamente reconheci os pares que ele exibia como & ld pares quorecíprocos & rdquo na base 60. O equivalente cuneiforme da equação 1/8 = 7,30 teria sido significativo para um pessoa com formação matemática em 1800 aC.

Uma captura de tela dos pesquisadores do vídeo promocional feita para acompanhar seu artigo sobre o tablet Babilônico Plimpton 322. Crédito: UNSW

O sistema numérico babilônico era um sistema posicional, ou valor posicional, como o nosso. Em nosso sistema decimal, o dígito 1 pode significar uma unidade se for sozinho, dez se for na casa das dezenas em um número como 10 ou 12, cem se for na próxima posição à esquerda e assim por diante. Em um sistema de base posicional 60, haveria uma casa de unidades, uma casa de sessenta, uma casa de trinta e seis centenas e assim por diante, em vez das casas de unidades, dezenas e centenas que costumávamos. Mas, fora isso, o sistema funciona da mesma forma que o nosso. Isso contrasta, por exemplo, com os algarismos romanos, onde I significa um, X significa dez, C significa cem e assim por diante. Portanto, o sistema babilônico é um pouco mais fácil de trabalhar do que o sistema romano.

Mas há uma reviravolta: o sistema babilônico não usava zero, pelo menos no início. (Escrevi sobre essa peculiaridade quando comecei a ensinar história da matemática em 2014.) Usamos zero como espaço reservado, seja no meio de um número, como no número 101, ou no início (0,001) ou no final (1.000) para indicam a magnitude do número de que estamos falando. Os antigos mesopotâmicos não, embora tenham deixado um pequeno espaço para dígitos vazios no meio de um número onde escreveríamos o zero em 101. Eles presumiram que o contexto tornaria a ordem de magnitude mais clara. Em nosso sistema numérico, seria como escrever 1 e supor que estaria claro se isso significava um, dez, um décimo, cem ou outro número que escreveríamos usando apenas os dígitos um e zero.

Isso parece confuso e levou a alguns erros, mas também cometemos erros bobos com base em como escrevemos os números: os dígitos 6 e 0, ou 1 e 7, parecem semelhantes na caligrafia de algumas pessoas, por exemplo. Às vezes, até omitimos uma ordem de magnitude se for entendida no contexto. As pessoas falam sobre comer algo com 100 calorias, o que na verdade significa 100 quilocalorias. Anúncios imobiliários às vezes dizem coisas como & ldquoHomes from the $ 100's & rdquo (nos subúrbios do Texas quando eu era criança) ou & ldquoUnits from the $ 500's & rdquo (nas grandes cidades hoje). Se você aparecer com algumas centenas de dólares pensando que voltou como proprietário, você vai se arrepender muito de não ter entendido o tácito & ldquothousand & rdquo no final desses números.

Hoje, os computadores geralmente representam e manipulam números usando aritmética de ponto flutuante, o que pode lembrá-lo da notação científica. Um conjunto de dígitos indica os dígitos do número e o outro conjunto indica sua ordem de magnitude. Dessa forma, é necessária basicamente a mesma quantidade de memória para armazenar o número 12 como o número 12.000.000.Embora o sistema babilônico não indicasse ordens de magnitude tão claramente quanto os computadores modernos, as semelhanças são suficientes para algumas pessoas se referirem a ele como ponto flutuante sexagesimal.

O fato de eu poder indicar um, sessenta, trinta e seiscentos ou outras potências de 60 no sistema numérico da Babilônia levou a uma maneira diferente de pensar sobre a divisão. Se eles tivessem que dividir por um número, eles se multiplicariam por um & ldquorecíproco & rdquo desse número. Dois números seriam recíprocos se seu produto fosse o dígito 1. Mas isso poderia significar qualquer coisa que foi escrita como o equivalente ao dígito 1 na base 60: 1, 60, 3600, 1/60 e assim por diante. Portanto, 4 e 15 formam um par recíproco na base 60 porque 4 & times15 é 60. Então faça 3 e 20, 5 e 12 e muitas outras combinações. (Esses pares podem parecer familiares: há 15 minutos em um quarto de hora, 20 em um terço e assim por diante. Gosto de pensar nisso como um sexagesimismo vestigial.) As tabelas recíprocas incluíam pares recíprocos mais complicados também: 8 e 7,30 9 e 6,40 1,21 e 44,26,40. (Hoje, normalmente colocamos vírgulas entre os dígitos sexagesimais quando os escrevemos com nossos decimais hindu-arábicos para evitar ambigüidade. 7,30 significa que uma casa tem um 7 e a outra tem um 30. A ordem de magnitude ainda depende do contexto. )

No início, afirmações como 1/4 = 15 e 1/8 = 7,30 pareciam não naturais para mim e meus alunos, mas acho que traduzi-las de volta para a base 10 pode ajudar um pouco. Quando eu era criança, descobri um fato surpreendente: em vez de multiplicar por 5, o que era difícil para mim, podia dividir por 2, o que era fácil para mim, e multiplicar por 10. Não pensava dessa forma. Pensei nisso mais como & ldquodivide por 2 e depois torne o número do tamanho certo. & Rdquo Mais tarde descobri que era possível reverter o processo: você pode dividir por 5 multiplicando por 2 e tornando o número do tamanho certo (dividindo por 10 , que pode parecer como retirar um zero ou mover uma vírgula decimal para a esquerda)! Também descobri que poderia multiplicar por 50 usando o mesmo truque e adicionando outro 0.

Fiquei muito satisfeito com esses pequenos truques, mas nunca disse aos meus professores porque tinha certeza de que estava trapaceando. Se fosse pego, teria que aprender a multiplicar ou dividir por 5. O horror! Sei agora por que meus truques funcionaram e que não eram trapaça. Eu estava usando o fato de que 5 e 2 são recíprocos de ponto flutuante decimal. Na verdade, é bom ser capaz de separar os números de maneiras convenientes para tornar a aritmética mais fácil. Quando encontrei pela primeira vez o sistema babilônico de base 60, reconheci o truque 5-2 como uma versão de base 10 dos pares sexagesimais e quorecíprocos. & Rdquo Embora a matemática mesopotâmica provavelmente não vá mudar a maneira como fazemos trigonometria, brincando com números e aprendendo sobre diferentes maneiras de representá-los podem ajudar os alunos (e não alunos) a desenvolver nosso senso numérico e a se divertir.

Para mais informações sobre o sistema numérico da Babilônia:
Uma introdução aos numerais babilônicos do site de história da matemática MacTutor
A página de Matemática da Mesopotâmia de Duncan J. Melville, consulte em particular & quotTópicos especiais & quot, que inclui artigos sobre pares recíprocos da Babilônia

As opiniões expressas são do (s) autor (es) e não necessariamente da Scientific American.


Enterro do Faraó

A mumificação e o sepultamento ocupavam um lugar importante na vida egípcia. Os egípcios acreditaram a preservação do corpo garantido a sobrevivência da alma na vida após a morte. O faraó começou a construir seu túmulo logo após assumir o trono. Os locais e tipos de tumbas construídas mudaram ao longo do tempo e quando a capital do país mudou. As tumbas continham decorações da jornada do faraó na vida após a morte e textos do Livro dos Mortos.

& copiar Mary Harrsch - Sarcófago Decorado

As primeiras tumbas faraônicas são as tumbas mastaba feito de tijolos de barro. Os estudiosos encontraram essas tumbas em alguns dos cemitérios mais antigos perto das antigas capitais (ver lista de capitais abaixo). Mastabas, como todos os cemitérios egípcios antigos, ficavam na margem oeste do Nilo, que era o reino dos mortos.

Pirâmides foram elaborações do desenho mastaba feito de pedra. O primeiro foi o Pirâmide de degraus de Djoser que Imhotep projetou. Os arquitetos planejaram as pirâmides e incluíram um templo mortuário e outras tumbas reais no complexo. A Grande Pirâmide de Khufu em Gizé é o maior exemplo desse tipo de tumba.

e copiar DragonWoman - Pyramid Complex at Giza

Faraós posteriores viram que ladrões de túmulos invadiram as tumbas anteriores, então eles fizeram segredo tumbas cortadas na rocha. A área onde eles construíram essas tumbas agora é chamada de Vale dos Reis. Algumas tumbas continham várias câmaras e mais de um governante.

Faraós receberam enterros elaborados contendo uma grande variedade de produtos. No início, os sacerdotes enterravam os faraós com itens como roupas, móveis, jogos e joias. Durante a décima nona dinastia, os padres começaram a enterrá-los com itens feitos para a vida após a morte. Um exemplo disso são as estatuetas shabti de barro feitas para servir ao faraó. Os sacerdotes colocavam comida, óleo e pratos nas tumbas para nutrir o rei na vida após a morte.


Assista o vídeo: Dizendo os 100 primeiros dígitos de Pi com olhos fechados pq sim (Outubro 2021).